Voici un dm que j'ai à faire pour lundi. Je l'ai commencé (l'exercice A est à peu de choses près fini); mais certaines questions me posent problème.
L'énoncé :
Mes réponses :Exercice A :
Soit la fonction f défininie par f(x)= (x^3-3x²+3x-3)/(x-2)².
f(x) peut aussi s'écrire sous l'une des deux formes :
((x-1)^3 - 2)/(x-2)² ou x + 1 + 3/(x-2) - 1/(x-2)²
On choisira l'une de ces formes pour traiter les questions suivantes, en expliquant le choix!
a) La fonction f n'est pas continue en 2; expliquer pourquoi.
b) Déterminer lim x->2 f(x) puis lim en +-l'infini de f.
c) Déterminer les asymptotes à la courbe C de f.
d) Montrer que C coupe en un seul point la droite delta d'equation y=x+1.
e) Montrer que C coupe l'axe (x'x) en un seul point et l'axe (y'y) en un seul point.
Exercice D :
On considère la fonction g définie par g(x) = x^6+x^5+x^4+x^3+x²+1.
a) Etudier les limites de g en + l'infini et en - l'infini.
b) Montrer que pour x différent de 1, g(x) s'écrit (x^7-1)/(x-1).
c) Montrer que l'équation x^7-1=0 n'a qu'une solution sur IR. En donner un encadrement décimal à 0.0001 près.
d) Quel est le nombre des solutions de l'équation g(x)=0 sur IR?
Exercice E :
Soit f la fonction numérique définie sur IR par :
f(x)= (x^²3-x²+3x+5)/(x²+3).
On Désigne par C sa cou'rbe représentattive dans un repère orthonormal (unité : 1cm sur les deux axes).
Voici le tableau de variation de f: f croissant de -l'infini vers + l'infini.
1) Déterminer lim lorsque x tend vers + l'infini de f et lim lorsque x tend vers - l'infini de f, puis compléter le tableau ci-dessus.
2) Démontrer que l'on peut écrire :
f(x) = x-1+ 8/(x²+3).
3) Soit d la droite d'équation y = x-1.
a) Etudier la position de C par rapport à la droite d.
b) Déterminer le plus petit naturel n tel que :
si x>n, alors f(x)-(x-1)<0.001.
Donner une interprétation graphique de ce résultat.
c) Démontrer que la d est asymptote à la courbe C.
4) On considère l'équation f(x) = 0.
Démontrer que -1 est l'unique solution de ce équation.
5) On considère l'équation f(x) = 3.
Démontrer qu'elle admet une unique solution alpha.
Par la méthode de balayage, donner un encadrement de alpha d'amplitude 0.001.
6) Montrer que f('x)-2 = (x-1)^3/(x²+3).
En déduire la solution de l'équation f(x)=2 et la position de la courbe C par rapport à la droite d' d'équation y=2.
7) Dans le repère du plan, tracer les droites d et d' puis la courbe représentative de f.
Vérifier le tracé à la calculatrice.
Exercice A :
A) On choisit ((x-1)^3-2)/(x-2)² car cette forme donne moins de calculs et pas de forme indéterminée.
La fonction f n'est pas continue en 2 car Ef = IR-(2).
lim x->2 de (x-1)^3 - 2 = -1
lim x->2 (x-2)² = 0 +
Donc lim x->2 de f(x) = -l'infini.
B) On choisit : f(x) = x+1 + 3/(x-2) - 1/(x-2)², car pour cette forme, 3/(x-2) et 1/(x-2)² tendent vers 0.
lim f(x) lorsque x tend vers + ou - l'infini = + ou moins l'infini, car...
... par somme et différence : lorsque x tend vers + ou - l'infini, lim x+1 = + ou - l'infini ; lim 3/(x+2) = 0 et lim 1/(x-2)² = 0.
C) Asymptote verticale d'équation x = 2. Cf question b).
On prend la dernière forme. Soit d(x) = f(x) - (x+1)
d(x)= 3/(x-2) - 1/(x-2)²
lim d(x) lorsque x tend vers plus ou moins l'infini = 0.
Donc d est asymptote oblique.
D) Cela revient à chercher les solutions de d(x) = 0.
3/(x-2) - 1/(x-2)² = 0 <=> 3(x-2)/(x-2)² - 1/(x-2)² = 0
(3x-7)/(x-2)² = 0.
3x-7=0 <=> x= 7/3
x-2 différent de 0 <=> x différent de 2.
E) Sur cette question, c'est un ami qui m'a montré la démarche mais je n'ai pas suivi. Pouvez-vous m'expliquer de manière claire son raisonnement ?
On prend ((x-1)^3 - 2) / (x-2)² = 0.
(x-1)^3 - 2= 0 <=> (x-1)^3 = 2
((x-1)^3) ^1/3 = 1^1/3
x-1 = 2^1/3
x = 2^1/3 + 1.
Exercice D.
a, b) Je me débrouille.
c) Un peu d'aide me serait la bien venue. Car là, je sèche. (la fatigue d'une semaine chargée peut être)
d) Idem.
Exercice E.
3)b, c. 4, 5, 6, 7) J'aimerai bien que vous me guidiez, je ne vois pas le "chemin" à prendre.
Merci beaucoup, et pardon pour mes explications peu développées. Mais je ne voyais pas trop quoi dire. Ce n'est pas que certaines question me posent des problèmes en particulier, mais simplement que je ne vois pas comment y répondre.
Bonne fin de journée!