Bonsoir,
Je vous envoie ce petit message car j'ai besoin d'aide : je sèche au démarrage pour mon DM de maths sur les dérivées.
Je suis dessus depuis le début de l'après-midi et rien ne vient. Quelques idées mais rien qui me permette d'avancer.
Voilà l'exercice 1 : Montrer qu'une fonction définie sur R telle que : f(x+a) = f(x) + f(a) pour tout a réel, est une fonction linéaire.
Merci à ceux qui pourront me donner une piste de réflexion, un petit coup de pouce pour démarrer.
Bonne soirée à vous tous.
problème fonction
-
zaza13750
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: problème fonction
Bonsoir,
Est-ce un exercice de terminale ?
Je ne crois pas, cela ressemble plutôt à un exercice que l'on donne en sup.
Pour démontrer cela, on a besoin de la continuité en un point (au moins).
on montre que pour tout entier naturel, f(n)=f(1+..+1)=nf(1), de plus avec f(0+0)=f(0)+f(0), on a f(0)=2f(0) donc f(0)=0.
Par ailleurs pour tout réel y, f(y+(-y))=f(0)=0=f(y)+f(-y), donc f(-y)=-f(y), ce qui permet d'étendre le f(n)=nf(1) à tous les entiers .
Ensuite pour les rationnels, si x=p/q, avec p entier et q entier naturel non nul, alors qf(x)=f(x)+....+f(x)=f(qx)=f(p)=pf(1) d'après précédemment donc f(x)=(p/q)f(1) donc la fonction semble linéaire sur les rationnels.
la relation de départ permet de dire que si la fonction est continue en 0, alors elle l'est partout sur R.
Il suffit ensuite d'utiliser la densité des rationnels dans l'ensemble des réels : si on considère un réel x, et si on prend une suite de rationnels (x_n) convergent vers x, alors on a pour tout n, f(x_n)=x_nf(1) et en passant à la limite quand n tend vers l'infini, avec la continuité de f en x, on a f(x)=xf(1) donc f est linéaire.
Ce forum est un forum pour les maths du secondaire...
Est-ce un exercice de terminale ?
Je ne crois pas, cela ressemble plutôt à un exercice que l'on donne en sup.
Pour démontrer cela, on a besoin de la continuité en un point (au moins).
on montre que pour tout entier naturel, f(n)=f(1+..+1)=nf(1), de plus avec f(0+0)=f(0)+f(0), on a f(0)=2f(0) donc f(0)=0.
Par ailleurs pour tout réel y, f(y+(-y))=f(0)=0=f(y)+f(-y), donc f(-y)=-f(y), ce qui permet d'étendre le f(n)=nf(1) à tous les entiers .
Ensuite pour les rationnels, si x=p/q, avec p entier et q entier naturel non nul, alors qf(x)=f(x)+....+f(x)=f(qx)=f(p)=pf(1) d'après précédemment donc f(x)=(p/q)f(1) donc la fonction semble linéaire sur les rationnels.
la relation de départ permet de dire que si la fonction est continue en 0, alors elle l'est partout sur R.
Il suffit ensuite d'utiliser la densité des rationnels dans l'ensemble des réels : si on considère un réel x, et si on prend une suite de rationnels (x_n) convergent vers x, alors on a pour tout n, f(x_n)=x_nf(1) et en passant à la limite quand n tend vers l'infini, avec la continuité de f en x, on a f(x)=xf(1) donc f est linéaire.
Ce forum est un forum pour les maths du secondaire...