encadrement d'une racine carrée

[Nicolas]

Chers Bienfaiteurs Mathématiciens,

Voici un problème qui me fait passer des nuits blanches. Ma solution ne donne pas le résultat requis dans l'énoncé. Je vous prie donc de la lire et de faire des suggéstions .... ( il n'y a pas malheureusement de corrigé dans le livre duquel le problème fut tiré...)

EXERCICE. Démontrer par raisonnement purement analytique ( sans faire appel à une calculatrice ), que :

\(1,7 <\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+ ...} } } < 1,9 .\) ( racines emboîtées à l'infini )

SOLUTION PROPOSÉE

On définit deux suites auxiliaires :

\((a_{n} )_{n\in N} ~: \ a_{1} =\sqrt{1} ,_{} a_{2} =\sqrt{1+\sqrt{1} } ,_{} a_{3} =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1} } } ,...., a_{n} =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+....+\sqrt{1} } } }\)....
( n radicaux )

et

\((b_{n} )_{n\in N} : \ b_{1} =\sqrt{1} ,_{} b_{2} =\sqrt{1+\sqrt{2} } ,_{} b_{3} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3} } } ,_{} ... , _{} b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n} } } }\)....
( n radicaux )



Il est évident, que \(a_{n} =\sqrt{1+a_{n-1} }\) , et que de ce fait \($(a_{n} )_$\) est strictement croissante :

\(a_{n+1} -a_{n} =\frac{a_{n+1}^{2} -a_{n}^{2} }{a_{n+1} +a_{n} } =\frac{1+a_{n} -1-a_{n-1} }{a_{n+1} +a_{n} } =\frac{a_{n} -a_{n-1} }{a_{n+1} +a_{n} } >0\) par réccurence pour tout n ∈ ℕ .

Si \((a_{n} )_\) avait une limite \(g\), on aurait eu :

\(g={\lim }\limits_{n\to \infty }^{} \, a_{n} ={\lim }\limits_{n\to \infty }^{} \, \sqrt{1+a_{n-1} } =\sqrt{1+{\lim \, a_{n-1} }\limits_{n\to \infty }^{} } \, =\sqrt{1+g} \quad ,\)

ce qui donne \(g^{2} = 1 + g\), d’où \(g=(1+\sqrt{5)} /2\; .\) (On prend la valeur positive de \(g\) par ce que \((a_{n} )_\) est positive et croissante ).
Il nous reste de prouver que \((a_{n} )_\) est bornée.
D’une part, \(a_{n} _\) > 0 pour tout n ∈ ℕ ; de l’autre, \((a_{n} )_\) est tout probablement majorée par un nombre quelconque supérieur ou égal à \(g\).
Etant donné, que \(g\) = 1,618..., nous allons montrer par exemple, que \(a_{n} _\) < 2 pour tout n ∈ ℕ .
Puisque \(a_{n} =\sqrt{1+a_{n-1} } ,\) il est clair, que \(a_{n} _\) < 2 si seulement \(a_{n-1} _\) < 2: \(a_{n} <\sqrt{1+2} =\sqrt{3} <2\).
De plus, \(a_{1} = 1 < 2\), d’où par réccurence : \(a_{n} _\) < 2 pour tout n ∈ ℕ . La suite strictement croissante \((a_{n} )_\) est donc bornée, et par conséquent convergente : \(g\) en est bien sa limite .
Nous retenons de cela, que \(a_{n} < g\) pour tout n ∈ ℕ .


Quant à la suite \((b_{n} )\) , le terme \(b_{n+1}\) s'obtient à partir du terme \(b_{n}\) en substituant à \($n$\) ( dans son expression générale ) la somme \(n+\sqrt{n+1}\), ce qui conditionne ( vu la nature croissante de la fonction \($\varphi (t)=\sqrt{t} $\) ), la croissance stricte de \($(b_{n} )_$\).
La question se pose, si \($(b_{n} )_$\) est convergente. Le calcul des premiers termes suggère une réponse affirmative :
\(b_{1}\) = 1, \(b_{2}\) = 1,5538... , \(b_{3}\) = 1,7123... , \(b_{4}\) = 1,7488... , \(b_{5}\) = 1.7562... , \(b_{6}\) = 1,7576... ,
\(b_{7}\) = 1,7578... , \(b_{8}\) = 1,7578... , etc.

Malheureusement, il n’existe pas une formule simple reliant \(b_{n}\) et \(b_{n-1}\), comme c’était le cas de \(a_{n}\)
( \(a_{n} =\sqrt{1+a_{n-1} }\) ) ; il n’est donc point possible de prouver que \((b_{n} )_\) est bornée de façon analogue, comme on l’a fait pour \((a_{n} )_\), ni de détérminer de manière similaire sa limite. Il est possible par contre de trouver une suite de convergence connue majorante de \((b_{n} )_\) et en déduire la convergence de \((b_{n} )_\) . Pour cela, il suffit de remarquer, que

\(b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n} } } } =\sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{2}{2^{2} } +\sqrt{\frac{3}{2^{4} } +...+\sqrt{\frac{n}{2^{2^{n-1} } } } } } }\)

et que

\(\sqrt{\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{2}{2^{2} } +\sqrt{\frac{3}{2^{4} } +...+\sqrt{\frac{n}{2^{2^{n-1} } } } } } } <\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1} } } }\) ( n radicaux )

d’où

\(b_{n} <\sqrt{2} \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1} } } } =\sqrt{2} \, a_{n} <\sqrt{2\, } \, g\;\) .

La suite \($(b_{n} )_$\) est donc bornée, convergente et \({\lim }\limits_{n\to \infty } \, b_{n} <\sqrt{2} \; g=\frac{\sqrt{2} \, (1+\sqrt{5} )}{2} <2,29\) .

Nous revenons maintenant à l’énoncé de l’exercice.
On peut écrire :

\({\lim }\limits_{n\to \infty } \, b_{n} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...} } }\)

Puisque la suite est strictement croisante on a :

\({\lim }\limits_{n\to \infty } \, b_{n} >b_{n} >....>b_{4} =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4} } } } =\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{5} } } >\sqrt{1+\sqrt{2+2} } >\sqrt{3} >1,7\)

Alors,

\([tex]\)1,7<\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...} } } <2,29 . [*][/tex]


L’encadrement [*] ainsi obtenu est malheureusement plus large que celui de l’énoncé de l’exercice.

QUESTION : Trouver un raisonnement analogue permettant de ramener la borne supérieure de l’encadrement [*] à 1,9 .[/b]

Merci de votre aide,

Avec mes meuilleurs sentiments,

Nicolas.

[SoS-Math(2)]

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SoS-Math(2)