Bonjour voilà j'ai un exo à faire et je suis bloqué à une question.
On considère la suite (Un) définie sur N par Uo=1 et Un+1=Un*e^-Un=f(Un) avec f(x)=xe^-x
1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, O<Un<1.
2)Montrer que (Un) est décroissante.
3)Justifier que (Un) converge puis déterminer sa limite.
4)Montrer par récurrence que Un+1=e^-Sn où Sn est la somme Uo+U1+U2+...+Un. Quelle est la limite de la suite (Sn) ?
Voilà j'ai réussi à faire la question 1 et 2 mais à la question 3) Un converge parce qu'elle es décroissante et qu'elle est minorée mais je ne sais pas comment déterminé la limite. Je connais le théorème où une suite qui converge vérifie f(l)=l mais je ne sais pas comment l'appliquer.
Merci d'avance pour votre aide.
Suite
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sos-math(20)
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- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: Suite
Bonsoir,
Tout d'abord nous souhaitons que les élèves qui utilisent le forum s'identifient avec leur prénom et pas un pseudo; cela rend les conversations plus conviviales. Merci d'y penser la prochaine fois.
Pour trouver la limite qui vous est demandée, vous devez en effet résoudre l'équation f(l)=l où l est la limite cherchée. Dans votre exercice, cela donne à résoudre \(le^{-l}=l\) ou encore \(le^{-l}-l=0\). Je vous laisse terminer la résolution mais attention, il ne faudra pas oublier de factoriser.
Bonne fin de soirée.
SOS-math
Tout d'abord nous souhaitons que les élèves qui utilisent le forum s'identifient avec leur prénom et pas un pseudo; cela rend les conversations plus conviviales. Merci d'y penser la prochaine fois.
Pour trouver la limite qui vous est demandée, vous devez en effet résoudre l'équation f(l)=l où l est la limite cherchée. Dans votre exercice, cela donne à résoudre \(le^{-l}=l\) ou encore \(le^{-l}-l=0\). Je vous laisse terminer la résolution mais attention, il ne faudra pas oublier de factoriser.
Bonne fin de soirée.
SOS-math
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Patrick
Re: Suite
D'accord j'ai bien compris maintenant je n'arrive pas à faire la question 4 la partie sur la récurrence. Cela veut dire quoi de montrer Un+1=e^-Sn ? Est ce que ça veut dire U1=e^-So ?
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SoS-Math(9)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Suite
Bonsoir Patrick,
Votre relation vous donne pour tout n : \(u_{n+1}=e^{-S_n}=e^{-(u_n+u_{n-1}+...+u_0)}\)
Donc on a bien \(u_{1}=e^{-S_0}=e^{-(u_0)}\)
mais aussi \(u_{2}=e^{-S_1}=e^{-(u_1+u_0)}\)
etc ...
SoSMath.
Votre relation vous donne pour tout n : \(u_{n+1}=e^{-S_n}=e^{-(u_n+u_{n-1}+...+u_0)}\)
Donc on a bien \(u_{1}=e^{-S_0}=e^{-(u_0)}\)
mais aussi \(u_{2}=e^{-S_1}=e^{-(u_1+u_0)}\)
etc ...
SoSMath.
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Patrick
Re: Suite
D'accord j'ai compris ! Mais pour calculer la limite j'utilise donc la propriété de f(l)=l donc e^-x=x
ln(e^-x)= ln x
-x = ln x
0 = ln x + x
Et après je ne sais plus quoi faire, pouvez vous m'aidez ?
ln(e^-x)= ln x
-x = ln x
0 = ln x + x
Et après je ne sais plus quoi faire, pouvez vous m'aidez ?
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Suite
Bonjour,
Si tu as trouvé la limite de la suite \((U_n)\) et que tu as prouvé que \(U_n=e^{-S_n}\) alors la convergence de \((U_n)\) te donne la convergence de la suite \((e^{-S_n})\) puis, comme le logarithme est une fonction continue sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\), par composition des limites, tu retrouves la limite de \(({-}S_n)\), puis celle de \((S_n)\)
Si tu as trouvé la limite de la suite \((U_n)\) et que tu as prouvé que \(U_n=e^{-S_n}\) alors la convergence de \((U_n)\) te donne la convergence de la suite \((e^{-S_n})\) puis, comme le logarithme est une fonction continue sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\), par composition des limites, tu retrouves la limite de \(({-}S_n)\), puis celle de \((S_n)\)