Cube

[Gilles]

Bonsoir,
j'ai un exercice où je bloque un peu car j'ai du mal avec les espaces et les volumes.
On considère un cube ABCDEFGH d'arete de longueur 4.
On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal (A;(1/4)\(\vec{AB}\),(1/4) \(\vec{AD}\),(1/4)\(\vec{AE}\))

1) Déterminer les coordonnées des points I,Jet K dans ce repère.
2) Démontrer que les points A,C et K ne sont pas alignés.
3a) Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG)
b) Déterminer une equation cartésienne du plan (AKG)
c) Vérifier que le point D appartient au plan (AKG)
4) On veut montrer que K est barycentre de A,D et G.
Soit L le centre du carré DCGH
a) Démontrer que K est le milieu de [AL].
b) Démontrer que K est le barycentre de A,D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
5) Soit R symétrique et orthogonal de J par rapport au plan (EFGH) et le vecteur \(\vec{u}\)=(1/2) \(\vec{AE}\)+(1/4)\(\vec{FC}\)-(3/4)\(\vec{HF}\).
a) Déterminer les coordonnées de R et \(\vec{u}\), ainsi qu'une représentation paramétrique de la droite D passant par R de vecteur directeur \(\vec{u}\).
b) Déterminer l'intersection de D et du plan (AKG).
c) Calculer la distance R au plan (AKG)
d) Déterminer l'intersection du plan (AKG) avec la sphere de centre R et de rayon 6. En déterminer tous les éléments

Voici ce que je propose mais je ne suis pas trop sur de moi:
1) I(0;2;2)
J(2;0;2)
K(1;1;2)
2) Il faut déterminer que \(\vec{AG}\) et \(\vec{AK}\) sont non colinéaires.
On trouve \(\vec{AG}\)(4;1;4) et \(\vec{AK}\)(1;1;2)
Or 1/4 n'est pas égal à 1 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires sonc A,G et K ne sont pas alignés.
3a) P plan mediateur de [IJ]<-> P et \(\vec{IJ}\) orthogonaux et K appartient à P
Mais ensuite je ne vois pas comment conclure à cette question et pour la suite je bloque aussi.
Merci d'avance et bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Gilles,

Je ne suis pas d'accord pour J, il est dans le plan d'équation z = 0 puisque le cote est donnée par \(\vec{k}=\frac{1}{4}\vec{AE}\). De même pour K non plus.
Je pense que tu as inversé le rôle de \(\vec{k}=\frac{1}{4}\vec{AE}\)et de \(\vec{j}=\frac{1}{4}\vec{AD}\).

Un plan est déterminé par trois points non alignés. Vérifie que IK = JK, IA = JA et IG = IJ, et que A, K et G ne sont pas alignés, (je pense que c'étaient plus ces points là que A, K et C dans la première question) ; dans ce cas tu as trois points non alignés du plan médiateur , conclus.
Ta méthode avec les vecteurs est correcte.

Bonne continuation