moyenne arithmético-géométrique

[Aria]

Bonjour.

Je suis en T S et je n'arrive pas à résoudre cette question :

a et b désignent deux réels tels que 0 inférieur à a, inférieur à b.
g= racine carrée de a*b est leur moyenne géométrique.
m= (a+b)/2 est leur moyenne arithmétique.
Démonter que a inférieur à g, inférieur à m, inférieur à b.

Merci d'avance.

Aria

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
je vais vous mettre sur la voie ...
0<a<b donc 0<a*a<ab
a²<ab
donc
\(\sqrt{a^2}<\sqrt{ab}\)
\(a<\sqrt{ab}\)

A vous de continuer ...

[Aria]

Bonsoir.
Merci beaucoup pour votre aide.
J'ai réussi à démontrer que g est compris entre a et b et que m est plus petit que b. Mais je n'arrive pas encore à prouver que g est plus petit que m.
Pouvez-vous m'indiquer une méthode s'il-vous-plaît ?
Merci.
Aria

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Aria,

L'idée est de partir du résultat ... pour trouver la condition initiale qui permet de démontrer cette propriété !

g < m
<=> \(\sqr{ab}<\frac{a+b}{2}\)
<=> \(ab<\frac{(a+b)^2}{2^2}\) (passage au carré)
... à toi de terminer.

Bon courage,
SoSMath.

[Aria]

Bonjour.

Ça y est, j'ai réussi à tout démontrer.

Merci pour votre aide.

Aria

[SoS-Math(2)]

A bientôt sur sos-Math