Suites et probabilités

[Invité]

Bonsoir, Après avoir longuement cherché cet exercice assez compliqué je ne sais pas comment faire et j'aurais besoin de votre aide. Voici le sujet :

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs S1, S2,....., Sn contenant des jetons. Au départ le sac S1 contient deux jetons noirs et un jeton blanc et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :
-Première étape : on tire au hasArd un jeton de S1
-Deuxième étape : on place ce jeton dans le sac S2 et on tire au hasard un jeton de S2.
-Troisième étape : après avoir placé dans S3, le jeton tiré de S2, on tire au hasard un jeton de S3 et ainsi de suite ....

POur tout entier naturel k tel que 1inférieur ou égal à k inférieur ou égal à n, on note Ek l'évène ment :" le jeton sorti de Sk est blanc", et E barre k l'évènement contraire.

1.a) Déterminer la probabilité de E1 et les probabilités P E1 (E2) (P E2 sachant E1) et P E1 barre (E2) (P E2 sachant E1 barre).
En déduire la probabilité de e2
b) Pour tout entier naturel k tel que 1 inférieur ou égal à k inférieur ou égal à n-1, la probabilité de Ek est notée pk
Justifier la relation de récurrence :
Pk+1= 1/3pk + 1/3

2.
u est la suite définie par u1 = 1/3 et pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, uk+1 = 1/3uk + 1/3
a) On considère la suite v définie pour tout entier k de N* par vk = uk - 1/2
Démontrer que v est une suite géomètrique

b) En déduire l'expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite u est convergente et préciser sa limite.

3. Dans cette question, on suppose n=10.
Déterminer les valeurs de k telles que :
0.4999 inférieur ou égal à pk inférieur ou égal à 0.5

Je vous souhaite bon courage et vous remercie d'avance de la résolution de cet exercice.
Xavier

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
je vais vous aider à démarrer.
La première est de visualiser les deux cas possibles et de faire un arbre les représentant.
Si le premier jeton est noir alors S2 contient 2 jetons noirs et un blanc alors PE1(E2) = 1/3
Si le premier jeton est blanc alors S2 contient 1 jeton noir et deux blancs alors P E1(E2) = 2/3

A vous de continuer
Bon courage