Bonjour,
j'ai un exercice sur les suites où je n'arrive pas à conclure.
On se propose de démontrer que quel que soit l'entier naturel a>(ou égal) 2, la suite définie pour tout entier n>(ou égal) 1,
par Un = somme des n de k=1 1/k^a est convergente.
A. Cas a = 2
1) Calculer U1, U2 et U3.
2) Justifier la croissance de la suite (Un).
3) soit k un entier naturel tel que k>(ou égal) 2, justifier que l'on a :
1/k² <(ou égal) 1/(k(k-1)) pui démontrer l'égalité 1/(k(k-1)) = 1/(k-1) - 1/k
4) Démontrer que, pour tout entier n>(ou égal)2, on a :
Un<(ou égal) 2- (1/n)
En déduire la convergence de (Un)
B. Cas a>(ou égal)3
1) Justifier la croissance de (Un)
2) Démontrer que, pour tout entier k>(ou égal) 1, on a 1/k^a <(ou égal) 1/k² et en déduire que (Un) est majorée par 2. Conclure.
Voilà ce que je propose:
A. 1) U1 = 1; U2= 5/4; U3 = 49/36
2) on calcule Un+1 -Un = 1/(n+1)² donc (Un) est croissante car (n+1)²>0
3) pas de problème
4) On utilise la récurrence. J'ai un peu de mal pour l'hérédité :
On veut prouver que pour tout entier n >(ou égal) 2, (Hn) => (Hn+1)
On suppose que (Hn) est vraie
on veut en déduire que (Hn+1) : Un+1<(ou égal) 2-(1/(n+1))
On a : Un+1 = Un + 1/(n+1)²
Mais ensuite je ne sais pas où utiliser l'hypothèse de récurrence qui est (Hn) : Un<2-(1/n)
B. 1) Je ne sais pas trop pour la partie B
je calcule Un+1 -Un = 1/(n+1)^a
donc (Un) est croissante.
2) Pour tout entier k>(ou égal) 1, on a : k^a>k² donc 1/ k^a < 1/k²
Et ensuite alors pour déterminer qu'elle est majorée par 2 je ne sais pas du tout comment procéder.
Merci d'avance
Jean
Suites
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sos-math(21)
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Re: Suites
Bonsoir,
Pour la récurrence, il faut utiliser les questions précédentes :
\(U_{n+1}=U_n+\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}\) en combinant l'hypothèse de récurrence et la première inégalité du 3.
puis en réutilisant la deuxième égalité \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)on a alors
\(U_{n+1}<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) soit \(U_{n+1}<2-\frac{1}{n+1}\) donc on a la propriété au rang \(n+1\)
Pour la suite, si tu prends un a>2, le sens de variation s'étudie de la même manière.
On a facilement (tu l'as dit) \(\frac{1}{k^a}<\frac{1}{k^2}\), donc en faisant la somme sur k variant de 1 à n, on a :
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^a}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\) or la deuxième somme est majorée par \(2-\frac{1}{n}\) (d'après la première partie) qui est majoré par 2.
Ta suite est donc croissante et majorée (par 2), elle converge donc vers un réel \(\ell\leq\,2\)
Pour la récurrence, il faut utiliser les questions précédentes :
\(U_{n+1}=U_n+\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}\) en combinant l'hypothèse de récurrence et la première inégalité du 3.
puis en réutilisant la deuxième égalité \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)on a alors
\(U_{n+1}<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) soit \(U_{n+1}<2-\frac{1}{n+1}\) donc on a la propriété au rang \(n+1\)
Pour la suite, si tu prends un a>2, le sens de variation s'étudie de la même manière.
On a facilement (tu l'as dit) \(\frac{1}{k^a}<\frac{1}{k^2}\), donc en faisant la somme sur k variant de 1 à n, on a :
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^a}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\) or la deuxième somme est majorée par \(2-\frac{1}{n}\) (d'après la première partie) qui est majoré par 2.
Ta suite est donc croissante et majorée (par 2), elle converge donc vers un réel \(\ell\leq\,2\)