Bonjour,
Je dois déterminer le sens de variation de la suite (Un) déterminée sur N et je dois préciser si elles sont majorée, minorée, bornée.
a) Un = n+(-1)^n
J'ai pensé à utiliser la formule Un+1 -Un = n+1+(-1)^(n+1) -(n+(-1)^n)
= 1+(-1)^(n+1) -(-1)^n
Mais je n'arrive pas à déterminer si c'est positif ou non...
b) Un= racine (n+1) - racine n
la je pense qu'il faut décomposer pour tout n appartenant à N, (n+1)> n donc racine (n+1)>racine n
Suites et variations
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Gilles
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SoS-Math(11)
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- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Suites et variations
Bonsoir Gilles,
Pour la première cela dépend de la parité de n.
Pour la seconde pense à la quantité conjuguée : \(u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-sqrt{n})(\sqrt{n+1}+sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+sqrt{n})}\\).
Pense aussi que si \(u_n=f(n)\) alors \((u_n)\) et \(f\) ont les mêmes variations et mêmes limites.
Bonne continuation
Pour la première cela dépend de la parité de n.
Pour la seconde pense à la quantité conjuguée : \(u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-sqrt{n})(\sqrt{n+1}+sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+sqrt{n})}\\).
Pense aussi que si \(u_n=f(n)\) alors \((u_n)\) et \(f\) ont les mêmes variations et mêmes limites.
Bonne continuation
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Gilles
Re: Suites et variations
Merci bien, je pense avoir compris le b) mais pas le a)
Voilà ce que j'ai mis :
a) On a pour tout n appartenant à N, Un= n+(-1)^n
On a Un+1 -Un = n+1+(-1)^(n+1) -(n+(-1)^n)
= 1 + (-1)^(n+1) -(-1)^n
Or pour tout n pair, Un+1 -Un= -1 et pour tout n impair, Un+1 -Un = 3 donc (Un) est décroissante puis croissante.
Mais pour déterminer si elle est bornée comment faut-il que je m'y prenne?
Je ne sais pas trop mais bon : On remarque qu'elle croit donc de 3 et décroit de 1
et U0 = 1 donc le minorant se trouve pour U1 qui est égal à 0.
lim (en +oo) Un = +oo car lim (en +oo) n = +oo et lim (-1)^n = -1 si n est pair et égal à -oo si n est impair.
Donc (Un) admet seulement un minorant.
b) On a pour tout n appartenant à N, Un = racine (n+1) - racine n
On pose f(x) = racine (x+1) - racine x pour tout x appartenant à R+
On dérive, on a donc f'(x) = 1/(2racine(x+1)) - 1/(2racine x)
On étudie le signe de f'(x):
pour tout x appartenant à R+ on a :x+1>x donc racine (x+1) > racine x donc 2racine (x+1) > 2 racine x donc 1/(2racine (x+1)< 1/(2racine x)
donc f'(x) <0 pour tout x appartenant à R+
donc f est strictement décroissante.
f(0) = 1 et lim f(x) = 0 (grace aux conjugués)
donc f est bornée donc Un l'est aussi.
C'est surtout pour le a que j'ai un gros doute
Merci d'avance
Voilà ce que j'ai mis :
a) On a pour tout n appartenant à N, Un= n+(-1)^n
On a Un+1 -Un = n+1+(-1)^(n+1) -(n+(-1)^n)
= 1 + (-1)^(n+1) -(-1)^n
Or pour tout n pair, Un+1 -Un= -1 et pour tout n impair, Un+1 -Un = 3 donc (Un) est décroissante puis croissante.
Mais pour déterminer si elle est bornée comment faut-il que je m'y prenne?
Je ne sais pas trop mais bon : On remarque qu'elle croit donc de 3 et décroit de 1
et U0 = 1 donc le minorant se trouve pour U1 qui est égal à 0.
lim (en +oo) Un = +oo car lim (en +oo) n = +oo et lim (-1)^n = -1 si n est pair et égal à -oo si n est impair.
Donc (Un) admet seulement un minorant.
b) On a pour tout n appartenant à N, Un = racine (n+1) - racine n
On pose f(x) = racine (x+1) - racine x pour tout x appartenant à R+
On dérive, on a donc f'(x) = 1/(2racine(x+1)) - 1/(2racine x)
On étudie le signe de f'(x):
pour tout x appartenant à R+ on a :x+1>x donc racine (x+1) > racine x donc 2racine (x+1) > 2 racine x donc 1/(2racine (x+1)< 1/(2racine x)
donc f'(x) <0 pour tout x appartenant à R+
donc f est strictement décroissante.
f(0) = 1 et lim f(x) = 0 (grace aux conjugués)
donc f est bornée donc Un l'est aussi.
C'est surtout pour le a que j'ai un gros doute
Merci d'avance
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SoS-Math(11)
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Re: Suites et variations
Bonsoir Gilles,
OK pour tout, cela me paraît tout à fait acceptable.
Bon week-end
OK pour tout, cela me paraît tout à fait acceptable.
Bon week-end