limites et suites

[tatave94]

Bonjour,
J'aimerais aider ma fille concernant l'exercice suivant, malheureusement, je n'avance pas significativement !!!
Merci de m'aider.
Limites et suites
A- On considère la fonction f définie sur ]0;+ infini[ par :

f(x)=x/(exp(x)-1)

La fonction exponentielle étant l'unique fonction dérivable sur R vérifiant :

g'(x)=g(x) pour tout x appartenant à R
g(0)=1

1-Démontrez que lim h tendant vers 0 de (exp(h)-1)/h=1
2-Déterminez la lim de la fonction f en 0 et en + infini

B- Soit Un la suite définie pour n entier sup ou égal à 1 par :

Un=[1+e^1/n+e^2/n+....e^(n-1)/n]

1-Démontrez que 1+e^1/n+e^2/n+....e^(n-1)/n=(1-e)/(1-e^1/n)
En déduire que Un=(e-1)f(1/n)

2- En déduire en utilisant A que Un converge vers e-1.

Où j'en suis :

A :

1- f(x)=f '(x)=exp(x)

f(0)=f '(0)=exp(0)=1

f '(0)=lim x tendant vers 0 = ( f(x)-f(0))/(x-0)=(exp(x)-1)/x

Mais : f(0)=f '(0)=1......?????

2- x tendant vers 0 :
x/(exp(x)-1)= x*1/(exp(x)-1)=0*(1/1-1)=0*1/inf=0.....????

x tendant vers inf :
x/(exp(x)-1)= x*1/(exp(x)-1)

Lim x tendant vers inf de x*1/(exp(x)-1)=inf*(1/inf-1)=0.....????

B :

Dans Un, je pensais mettre racine nième de e en facteur, mais je n'aboutis à rien !!,
cela donne :
(racine nième de e)/n(e^0+e^1+e^2+.....+e^(n-1))

[sos-math(20)]

Bonsoir,

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Pour l'exercice, commençons par la question 1) :

Vous confondez les fonctions f et g. La fonction f ne vérifie pas f '(x)=f(x)= exp(x). Par contre cette question est une question de cours, et la réponse est sans aucun doute dans le cahier de votre fille ou à défaut dans son livre. Revoyez la rédaction de de cette première question où il n'est pas encore question de la fonction f.

Pour la question 2) :

Votre limite en 0 est fausse et il vous faudra utiliser la question 1) pour la trouver. La limite en \(+\infty\) est trouvée "un peu par hasard" car vous n'avez pas mis en évidence la forme indéterminée.

Bon courage pour la reprise de ces questions.

SOS-math

[daniel]

Merci pour votre aide, désolé de ne pas avoir respecté les règles de ce forum
Bonne journée.