Démonstrations

[Romain]

Bonjour, j'ai un DM à rendre où il y a cet exercice avec des démonstration à faire mais je n'y arrive. Nous sommes entrain de faire le chapitre Fonctions exponentielle et logarithme mais je ne vois pas le rapport avec cet exercice.

Soit f une fonction définie sur sur IR, non identiquement nulle, vérifiant la relation fonctionnelle suivante : R: Pour tout a \(\in\) IR, pour tout b \(\in\) IR, f(a+b) = f(a) f(b).
1.Démontrer que si f(0)=0, alors pour tout réel x on a f(x)=0.
2.En déduire que f(0)=1.
3.En déduire que f ne s'annule pas en sur IR.
4.Démontrer alors que pour tous réels a et b on a f(a-b)=\(\frac{f(a)}{f(b)}\).

Je ne sais même pas comment commencer. Pour la question 1. je pense qu'il faut commencer par :Soit x un réel, on a f(x) = f(x+0)=f(x) x f(0) =0 d'après la relation fonctionnelle et aussi car f(0)=0. Est-ce-que c'est bon ?

Pour la 4, j'ai f(a-b)=f(a) x f(-b) =f(a) x f(1/b) = \(\frac{f(a)}{f(b)}\). Mais je n'arrive pas à expliquer comment on passe d'une étape à une autre.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

1) Je te propose de faire a=0 dans l'égalité proposée : f(ab)=f(a)+f(b).

2) Je te propose, après avoir fait la question 1, de donner à a et b la valeur 0 dans l'égalité proposée.

sosmaths

[Romain]

Bonjour,

Je ne comprends pas pour la 2. Si on remplace a et b par 0, on a : f(0+0)= f(0) x f(0)=0 ?

Merci pour votre aide.

[SoS-Math(4)]

ce qui donne f(0)=[f(0)]² à résoudre.

sosmaths

[Romain]

Désolé, mais là je ne comprends pas du tout comment faire.
On n'a pas de formule pour f donc comment résoudre [f(0)]² ?

Merci.

[SoS-Math(4)]

f(0), c'est l'inconnue, tu peux le remplacer par x, donc tu résous x=x²

sosmaths

[Romain]

Bonsoir,

Si on résous x=x² , il y a deux solutions S={0;1} ? Je n'y arrive pas, et si j'admets que c'est vrai je n'arrive quand même pas à en déduire que f ne s'annule pas sur IR. Et est-ce-que ce que j'ai mis pour la question 4. est correct même si je n'arrive pas à trouver les justifications?

Pouvez vous m'aider encore s'il vous plaît.

[SoS-Math(4)]

Si tu relisais attentivement ton énoncé et les 3 premières questions afin de bien comprendre leur sens et comprendre le déroulement logique des questions.

Je rappelle que "f non identiquement nulle " signifie que 'f n'est pas la fonction nulle"

sosmaths

[Romain]

Bonsoir,

J'ai bien tout relu mais je ne comprends vraiment pas.

Pour la question 2, on a f(0) = f(0+0) = f(0) x f(0) =[f(0)]² .
Donc f(0) = 0 ou 1 .Mais f(0) ne peut être égal à 0 car f est non identiquement nulle. Est-ce-qu'en faisant ça j'ai démontré que f(0)=1 ?
Comment en déduire que f ne s'annule pas sur IR ? Car en faisant la démonstration précédente on a prouvé que f est définie en 0, mais ça ne veut pas dire qu'elle est définie sur IR .

Merci beaucoup de votre aide.

[SoS-Math(4)]

réponse à ta première question, c'est oui. Tu as montré que f(0)=1.

3) raisonnement par l'absurde

supposons qu'il existe a tel que f(a)=0.

D'après l'égalité f(a+b)=f(a) xf(b), on aurait alors pour tout reel b, f(b)=0xf(b) donc f(b)=0, donc f serait identiquement nul, ce qui n'est pas par hypothèse.

Donc la supposition est fausse. Donc f ne s'annule pas.

sosmaths