Exponentielles/Logarithmes

[Nikita]

Bonsoir, j'ai cet exercice à rendre qui est composé de 3 questions indépendantes mais je n'arrive pas à faire certaines questions:

1)Déterminer les limites de :
f(x)=(x²)- ln(x) en +00 .Donc celle là c'est facile j'ai réussi en factorisant par x.
g(x)=\(\frac{(e^(2x))-1}{x}\) en 0.Celle là aussi (j'ai fait un changement de variable).
h(x)= x ln(1+\(\frac{1}{x}\)) en +00. Pour celle là je ne sais pas comment faire, je pourrais juste avoir l'idée de ce qu'il faut faire pour retomber sur les limites qu'on connaît ?

2.Résoudre :
(a) ln(x+3)+ln(x-2) = ln6
(b) \(e^{2x}\) - 2\(e^{x}\)-1=0

3)Soit F la fonction définie sur IR* par F(x)=x\(e^{1/x}\). Etudier les variations de F et déterminer ses limites en 0 et en +00.

Pour la fin je n'ai rien réussi, pour l'équation (a) j'arrive à ln (\(\frac{(x^2)+x-6}{6}\))=0, mais je ne sais pas quoi faire avec.

Merci beaucoup.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Pour \(h(x)\) tu peux transformer \(h(x)\) ainsi \(h(x)=\frac{ln(1+\frac{1}{x})-ln(1)}{\frac{1}{x}}\)puis faire le changement de variable en posant \(\frac{1}{x}=y\), la limite cherchée est la limite en 0 de \(h(x)=\frac{ln(1+y)-ln(1)}{y}\), ce qui dois-te faire penser à la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.

Pense que \(ln(1)=0\) pour résoudre \(ln (\frac{(x^2)+x-6}{6})=0\), pense aussi que \(ln(a)=ln(b)\) si et seulement si \(a = b\) (a et b strictement positifs).

Bonne continuation

[Nikita]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment vous faites pour passer de x ln(1+ \(\frac{1}{x}\) à ce qui correspond au taux d'accroissement de h.

Et puis pour la question 2.a) une fois qu'on arrive à ln(\(\frac{(x^2)+x-6}{6}\))=0 ,est-ce qu'il faut remplacer le 0 par ln(1), puis mettre chaque terme de chaque côté à l'exponentielle (désolée je ne sais pas comment expliquer ça) ?
Donc ça revient à résoudre \(\frac{(x^2)+x-6}{6}\)=1 ?

Merci beaucoup.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
C'est d'abord un jeu d'écriture :
\(x\times\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\), es-tu d'accord ?
Ensuite, si tu poses \(X=\frac{1}{x}\), tu as \(h(X)=\frac{\ln(1+X)}{X}\), et la limite recherchée se passe maintenant en 0.
A ce moment-là soit tu reconnais une limite du cours, soit il faut faire apparaître autre chose. Comme il y a un quotient avec X, on peut penser à un taux d'accroissement en 0 pour une fonction \(u(X)=\ln(1+X)\) ce qui est pas mal, car \(u(0)=\ln(1)=0\), donc on peut écrire
\(h(X)=\frac{\ln(1+X)}{X}=\frac{u(X)-u(0)}{X-0}\) ce qui est bien un taux d'accroissement et la limite est à trouver quand X tend vers 0, donc cette limite vaudra \(u^{,}(0)=\ldots\)
Pour l'équation, la démarche est correcte.

[Nikita]

Bonsoir, merci beaucoup j'ai compris et réussi à finir ça.
Par contre je n'arrive pas à résoudre l'équation (b) de la question 2, et pour la dernière question je n'arrive pas à trouver la limite de F(x) en +00.

Vous pourriez m'aider pour ça aussi s'il vous plaît?

[sos-math(21)]

Pour l'équation, si tu posais \(X=e^x\), cela te ferait une équation du second degré en \(X\), que tu sais résoudre.
Pour la limite de \(F(x)=xe^{\frac{1}{x}}\), regarde en 0, et pose \(X=\frac{1}{X}\), tu as alors à étudier la limite \(\lim_{X\to+\infty}\frac{e^X}{X}\), qui est une croissance comparée que tu connais donc la limite en 0 est connue. Pour la limite en l'infini, tu poses encore la même chose et cela te revient à déterminer \(\lim_{X\to0}\frac{e^X}{X}\), qui est une limite facile car l'exponentielle tend vers 1 en 0.

[Nikita]

Bonjour,

Je me suis rendue compte que je n'avais pas tout compris pour la limite de h(x) pour la question 1.
Vous pourriez m'expliquer un autre petit truc? En fait je comprends pas quand vous dites que maintenant la limite étudiée se passe en 0.
Pourquoi on passe d'une limite en +00 à une limite en 0 ? Parce-que il me semble qu'on ne peut pas utiliser le taux d'accroissement en +00.

Merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Dès que tu fais un changement de variable, tu déplaces ta limite !
Si tu poses \(X=\frac{1}{x}\), quand \(x\to+\infty\), \(X\to\,0\),
donc la limite que tu étudiais pour \(x\) en \(+\infty\) est équivalente à l'étude de la limite pour \(X\) mais en 0 !
Voilà.

[Nikita]

Bonjour,
Pour résoudre l'équation (\(e^{2x}\))- (2\(e^{x}\)) -1 =0 vous m'avez dit de poser X=\(e^{x}\) mais je n'arrive quand même pas à la résoudre.

On retombe bien sue une équation du second degré : X² -2x-1=0. Je trouve les racines X1=1- \(\sqrt{2}\) et X2=1+ \(\sqrt{2}\).
Mais alors les solutions sont \(e^{1-\sqrt{2}\) et \(e^{1+\sqrt{2}\) ? Et comment fait-on pour simplifier ça ?

Merci

[sos-math(21)]

Si tu as posé \(X=e^x\), alors \(x=\ln(X)\), donc
si \(X=1+\sqrt{2}\) on a alors \(x=\ln(1+\sqrt{2})\) en revanche pour l'autre racine qui est négative, il n'y a pas de solution en x.
Donc en fait tu n'as qu'une solution