Complexes

[Rémi]

Bonjour à tous,

Je remets mon petit souci sur ce topic car il ya du avoir un problème dans le système.

J'ai un dm de maths et j'ai une question où je bloque plus ou moins. On a d'après les précédentes questions :
zz' \(\overline{z}\)\(\overline{z}\)' = ((z\(\overline{z}\)' + z'\(\overline{z}\))²-(z\(\overline{z}\)'-z'\(\overline{z}\))² /4) et 2Re(z\(\overline{z}\)') = z\(\overline{z}\)'+z'\(\overline{z}\)

En déduire que |zz'|² - (Re(z\(\overline{z}\)'))²\(\geq\) 0 (On justifiera que z\(\overline{z}\)'-z' \(\overline{z}\) est un imaginaire pur.
Dites moi si je me trompe :
on calcule z\(\overline{z}\)'-z' \(\overline{z}\). en posant z = x+iy et z' = x'+iy', on trouve:
z\(\overline{z}\)'-z' \(\overline{z}\) = 2i(yx'-y'x)
Donc z\(\overline{z}\)'-z' \(\overline{z}\) est bien un imaginaire pur.
Ensuite je calcule |zz'|² - (Re (z\(\overline{z}\)'))² et je trouve -((z\(\overline{z}\)' -z'\(\overline{z}\))²/4)
Or z\(\overline{z}\)' -z'\(\overline{z}\)) est un imaginaire pur, donc |zz'|² - (Re(z\(\overline{z}\)'))² = Im(z\(\overline{z}\)')
et Im(z\(\overline{z}\)')\(\geq\) 0 on a donc ce qu'il faut.
Ma démarche est-elle correcte?
Merci d'avance,
Rémi

[SoS-Math(4)]

ça a l'air juste au début, vers la fin je me demande s'il n'y a pas des erreurs.

définition : partie imaginaire(x+iy)=y

\(Im(z \overline{z^{,}} )=yx^{,}-xy^{,}\),

donc je ne suis pas d'accord avec ta dernière égalité. Il manque une division par 4 ou par 2 quelque part et même un signe -.

sosmaths

[Rémi]

Je reprend mon raisonnement il ya une petite erreur :
en fait à la fin je trouve :
Or \(\overline{z}\)z' -z\(\overline{z}\)' est un imaginaire pur, donc |zz'|² - (Re(z'\(\overline{z}\)))² = (Im(z'\(\overline{z}\)))²
et Im(z'\(\overline{z}\))² \(\geq\) 0 on a donc ce qu'il faut.
est-ce correct ?
merci d'avance

[Rémi]

En effet vous avez raison mais je trouve quelque chose de négatif....

[SoS-Math(4)]

Oui , en effet.

J'ai refais le calcul en utilisant la forme algébrique des nb complexes, et je trouve comme résultat de la différence dont il faut monter la positivité:

Je trouve : (x'y+xy')²

ce qui est positif.

Essaye , le calcul se fait facilement. Ce qui n'empêche pas de chercher l'erreur dans le calcul précédent.

sosmaths

[Rémi]

C'est étrange. En faisant et refaisant mes calculs je ne trouve pas mon erreur de signe....
Rémi

[Rémi]

J'ai trouvé!!!
on trouve (4x'²y²+8x'yy'x+4y'²x²) donc (x'y + y'x)²
C'est bien ça ?
Merci encore de votre patience
Rémi

[Rémi]

Je trouve plutôt:
(x'y-xy')²
C'est le bon résultat non?
Merci encore.
Rémi

[sos-math(21)]

Tu as démontré que
\(|zz^{,}|^2=\frac{(z\bar{z}^{,}+\bar{z}z^{,})^2-(z\bar{z}^{,}-z^{,}\bar{z})^2}{4}\), or tu sais que \(z\bar{z}^{,}+\bar{z}z^{,}=2Re(z\bar{z}^{,})\)
donc \(Re(z\bar{z}^{,})^2=\frac{(z\bar{z}^{,}+\bar{z}z^{,})^2}{4}\) donc
\(|zz^{,}|^2-Re(z\bar{z}^{,})^2=\frac{-(z\bar{z}^{,}-z^{,}\bar{z})^2}{4}\)
Or tu as montré que \(z\bar{z}^{,}-z^{,}\bar{z}\) était imaginaire pur donc de la forme \(ix\) (avec \(x\in\mathbb{R}\)) donc
\(|zz^{,}|^2-Re(z\bar{z}^{,})^2=\frac{-(z\bar{z}^{,}-z^{,}\bar{z})^2}{4}=\frac{-(ix)^2}{4}\) et comme \(i^2=-1\), on a bien
\(|zz^{,}|^2-Re(z\bar{z}^{,})^2=\frac{-(z\bar{z}^{,}-z^{,}\bar{z})^2}{4}=\frac{x^2}{4}\geq\,0\), donc c'est bon non ?
L'erreur vient sûrement de l'oubli du \(i\), qui en passant au carré donne le signe moins qui vous manquait...

[sos-math(21)]

Je ne sais pas si tes calculs sont bons, je serais toi, je resterais avec les z, plutôt que de partir dans les formes algébriques.
Regarde le message que je viens de poster, je pense qu'il y a ce qu'il faut

[Rémi]

Bonsoir,
oui en effet il ya ce qu'il faut mais à la dernière ligne il faut que j'utilise la partie imaginaire que j'ai trouvé c'est à dire 2i(yx' - y'x) à la place de ix, non?
On a donc -(2iyx' - 2iy'x)²/4
soit - (-4y²x'² - 8yx'y'x - 4y²x²)/4
soit (x'y-xy')²

Au début il est plus simple d'utiliser les z et après la forme complexe.
donc on trouve ce qu'il faut. En effet j'avais oublié les i dans l'identité remarquabe.
Je pense que c'est bon.
Merci de me confirmer ou non ce raisonement.
Rémi

[sos-math(21)]

C'est cela,
Pour toi, si on revient à ce que tu as fait :
Quand tu es à -(2iyx' - 2iy'x)²/4 , tu peux extraire le i plutôt que de développer pour refactoriser après : tu factorises par i : [i(2yx' - 2y'x)]²/4, puis tu distribues le carré :
-i²(2yx' - 2y'x)²/4=(2yx' - 2y'x)²/4 qui est bien un nombre positif.

[Rémi]

Merci beaucoup et bonne soirée à vous ;)