Question sur Dervalbilité

[Jim]

Bonjour:

En fait je voudrais savoir ce qu'il faut faire quand on nous demande d'etudier la continuité d'une focntio sur son ensemble de défintion. il y a un exercice où on a utilisé la limite :

fx = x²+1 si x<0
1-x² si 0<x<1
(racine carré de x)1 si x>1
et là on a calculé les limites mais je demandais si a chaque fontion il faut calculer les limites pour prouver que c'est continu.

Et quand on demande d'étudier la dérivabilité d'une fonction sur son ensemble de défintion, on ne peut pas calculer tout le temps la limite du taux de variation surtout si on ne sait pas en quel point le faire.

En gros j'ai du mal avec ces deux notions. Donc si quelqu'un paut ma'ider ce serait cool

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Lorsque la fonction s'exprime par des expressions différentes suivant les intervalles, il peut y avoir un point de discontinuité à la jonction des intervalles à leur frontière commune a.
Il faut alors étudier la limite de f à gauche de a, c'est, à dire limite lorsque x tend vers a(avec x<a) de f.
Ensuite il faut calculer la limite de f à droite de a c'est à dire la limite lorsque x tend vers a( avec x>a) de f.
Si ces 2 limites existent et sont égales à f(a), alors la fonction est continue en a.

Dans pleins d'autre cas, en particulier lorsque les expressions de f ne sont pas différentes suivant les intervalles, des théorèmes du cours suffisent à montrer la continuité sur leur ensemble de définition.( ex : toute fonction polynome est continue sur son ensemble de définition).

Pour la dérivabilité , c'est une méthode similaire.

Dans ton exemple la fonction n'est pas définie en 0 ni en 1, il doit y avoir une erreur.

sosmaths

[Jim]

lénoncé réecrit:
fx = x²+1 si x<0
1-x² si 0<x<1
(racine carré de x)-1 si x>1

j'avais oublié le moins en fait.donc là on calcule la limite de x qui tend vers 0 pour (x>0) et (x<0) des deux premières expressions et la limite de x qui tend vers 1 pour (x>1) et(x<1) des deux dernières expressions?

Du coup quand on doit étudier la dérivabilité il faut juste utiliser des propriétés de cours Genre f est la somme de fonction dériable et continues donc f dérivable?

[SoS-Math(4)]

oui, pour les limites, pour la continuité en 0 et 1. Mais n'y a t il pas des signes" <= "quelques part ?

Ensuite pour x appartenant à ]-infini; 0 [ tu dis que f est continue car c'est une fonction polynôme. De même pour x appartenant à ]0;1[ etc.

Pour la dérivabilité, c'est pareil, il y a des limites( à gauche et à droite) à calculer aux bornes des intervalles. A l'intérieur des intervalles , utilisation des théorèmes.

sosmaths

[Jim]

Ah ok. Je comprends mieux là.

Si y'avait un x<=0 a la première expression et x>=1 a la dernière mais je l'avais pas mis en croyant que ca servait à rien.

[SoS-Math(4)]

oK

sosmaths