devoir sur les compplexes

[sos-math(22)]

Bonsoir André,

Tu n'es pas très loin, vérifie tes calculs, il doit y avoir une erreur à reprendre.

Je te donne une des solutions :

\(\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{2(\sqrt{5}+5)}}{4}i\)

Bon courage.

[andre]

Desole je ne vois pas mon erreur.Je vous envoye ce que j'ai fait en sperant que vous aurez le temps de me repondre.
za= (-1+racine(5))/2 et zb= (-1-racine(5))/2
Donc je resout les equations du deuxieme degre z^2 + za + 1 = 0 et z^2 + zb +1 = 0
Soit le trinome z^2 + ((-1+racine(5))/2) z + 1
Delta= z^2 + ((-1-racine(5))/2) z + 1
Delta= (racine(5) -5 )/2, delta est inferieur à 0 donc il y a deux racines complexes.
z= ((1+racine(5)/2)-i racine(5- racine 5)))/2 ou z= ((1+racine(5)/2)+i racine(5- racine 5)))/2
z= z=(1+ racine 5) + (i racine ( 5 - racine 5))/2 ou z=(1+racine 5) - (i racine ( 5 - racine 5))/2
Soit le trinome z^2 + ((-1+racine(5))/2) z + 1
Delta= z^2 + ((-1+racine(5))/2) z + 1
Delta= -1-racine 5, delta est inferieur a 0 donc il y a deux racines complexes
z= ((1-racine(5)/2)+i racine(1+ racine 5)))/2 ou z= ((1-racine(5)/2)-i racine(1+racine 5)))/2
Merci de me repondre si vous avez le temps.
Coredialement Andre

[André]

Bonjour, j'ai refait tous mes calculs et j'ai compris mon erreur et votre resultat !!
J'ai trouvé comme solutions sous formes algebrique :

z=((racine 5)-1)/4 + (i racine (2( 5+ racine 5)))/4
z=((racine 5)-1)/4 - (i racine (2( 5+ racine 5)))/4
z=(-(racine 5)-1)/4 + (i racine (2( 5- racine 5)))/4
z=(-(racine 5)-1)/4 - (i racine (2( 5- racine 5)))/4
z=1

Est-ce exact ?
Si c'est bon est-ce que vous pouvez m'expliquez un petit peu la question suivante ?
Merci de me repondre
André

[sos-math(22)]

Bonsoir André,
Oui, tes résultats sont corrects.

[sos-math(22)]

Pour la question suivante, cela n'a rien à voir avec ce qui précède...

Tout d'abord : \(z^5=1\) implique \(|z^5|=|1|\) donc \(|z|^5=1\) et enfin \(|z|=1\).

On dit que \(z\) est un nombre complexe de module 1.

Cela signifie que son image est située sur le cercle trigonométrique.

Ensuite, reprenons, \(z^5=1\) donc \(arg(z^5)=arg(1)\).

Vois-tu comment poursuivre ?

Pour t'aider, regarde les règles algébriques sur l'argument dans ton cours.

Bon courage.

[André]

Bonsoir,
Je ne vois pas trop comment poursuivre, j'ai tente quand même une possibilitée mais je m'en suis arrêté qu'à une car le résultat me semble bizarre.
J'ai trouvé pour une solution:
Un module qui est = racine( 16x (66 + 18racine(5)))/4 et cos téta = 4 / (1056 + 288 racine(5))
sin téta = 10 + 2racine(5)/ (1056 + 288 racine(5))
Merci de me répondre
André

[SoS-Math(9)]

Bonjour André,

Il faut utiliser la propriété : \(arg(z^n)=n\times{}arg(z)\).

Bonne continuation,
SoSMath.

[Andre]

Bonjour, je ne vois vraiment pas comment pourquoi et comment il faut utiliser la formule que vous m'avez donné.....
Je commence à desesperer....
Pouvez vous m'aider?
Merci

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Tu dois résoudre \(Z^5=1\).
Un de mes collègues a dit que cela entrainait que \(arg(z^5)=arg(1)\), donc que \(5arg(z)=0+2k\pi\)

On en déduit donc que \(arg(z)=\frac{2\pi}{5}\times{k}\) avec k entier.

Donne à k les différentes possibles et tu trouveras les différentes possibilités pour arg(z).

D'autre part rappelle toi que z a pour module 1 ( message précédent) . Tu pourras ainsi écrire les différentes solutions sous forme trigonométrique.

sosmaths

[andre]

Je crois que j'ai compris.
On trouve que les arguments sont égaux à :
1
e ( i 2pi/5)
e ( i 4pi/5)
e ( i 6pi/5)
e ( i 8pi/5)
et que les modules sont égaux à 1
Est-ce cela ?

[SoS-Math(4)]

Oui, c'est ça .
Je te conseille de placer les points images de ces nbs complexes, sur le cercle trigonométrique.

sosmaths

[André]

Merci beaucoup pour vos aides
Andre