Devoir maison sur les équations différencielles

[Laura]

Bonjour,
J'ai un devoir maison de mathématique concernant les équations différencielles, et j'avoue avoir quelques difficultés sur certaines questions. Voici le dit devoir :

Une étude sur le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence a conduit à modéliser l'évolution de la population par une fonction N telle que :
(1) N'(t)= 2N(t) - 0.0045(N(t))²
où t est le temps exprimé en heure (t supérieur ou égal à 0), N(t) est le nombre d'individus présents dans l'enceinte à l'instant t, et N(0)= 1000 est le nombre initial d'individus.
Le but de l'exercice est de déterminer la fonction N.

1. On se propose de remplacer (1) par une équation différencielle plus simples puis de la résoudre.
a. On suppose que la fonction N ne s'annule pas sur [O;+oo[ et on pose, pour tout t supérieur ou égal à 0:
q(t)= 1/N(t)
Calculer la dérivée de q.

b. Montrer que N est solution de (1) si et seulement si q est solution de :
(2) q'(t)= -2q(t) + 0.0045

c. Donner la forme générale des solutions de (2), en déduire la forme générale des solutions de (1)

d. Montrer que la solution de (1) vérifiant les conditions initiales est :
N(t)= 1/(0.00225-0.00125e^-2t)

J'ai réussis à faire la a, la b et la première partie du c.
Je finis par trouver que la forme générale des solutions de (2) est de la forme :
qk(t)=k.e^-2t+0.00225
Je bloque cependant sur la déduction de la forme générale des solutions de
N'(t)= 2N(t) - 0.0045(N(t))²
J'ai essayé de remplacer N(t) par 1/q(t) mais n'arrive pas à arriver à une solution. Ensuite j'ai essayé de faire un raisonnement par récurrence, mais retombe sur un résultat qui ne répond pas à la question posée.

Merci d'avance pour votre réponse.

[sos-math(12)]

Bonsoir Laura :

Si tu as réussi à démontrer que N est solution de (1) si et seulement si Q est solution de (2) ; et connaissant toutes les solutions de (2), tu dois être en mesure de trouver les solutions de (1).
\((Q(t)=\frac{1}{N(t)})\Leftrightarrow (N(t)=\frac{1}{Q(t)})\)

Bonne continuation.