Ecadrement-Irrationalité de e

[Nikita]

Bonjour, j'ai un TD à préparé pour demain mais je n'arrive pas à le terminer. J'ai réussi le début mais comme il n'influence pas sur la suite je ne vous mets que ce que je n'arrive pas à faire.

Pour démontrer que e est irrationnel, nous allons utiliser l'encadrement de e du paragraphe 2
(c'est à dire 1+\(\frac{1}{1!}\)+\(\frac{1}{2!}\)+...+\(\frac{1}{n!}\) \(\leq\)e\(\leq\)1+\(\frac{1}{1!}\)+\(\frac{1}{2!}\)+...+\(\frac{1}{n!}\)+\(\frac{1}{n!}\) , les inégalités sont strictes).
Supposons e rationnel, alors e=p/q avec p et q entiers.
1.En multipliant les inégalités 1+\(\frac{1}{1!}\)+\(\frac{1}{2!}\)+...+\(\frac{1}{n!}\) \(\leq\)e\(\leq\)1+\(\frac{1}{1!}\)+\(\frac{1}{2!}\)+...+\(\frac{1}{n!}\)+\(\frac{1}{n!}\)
par n!, prouvez que n!e est encadré strictement par deux entiers consécutifs a(n) et a(n)+1.
2.a) Prouvez que q\(\leq\)n est impossible.
b)Déduisez en que q\(\leq\)n (strictement inférieur), quelque soit l'entier n, n\(\geq\)1.

En fait je n'arrive à rien je ne sais pas manipuler les factoriels.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
vous êtes sûre que c'est un devoir de terminale ?
tu sais que \(n!=1\times\,\times\,3\times.....\times\,n.\)
juste pour le début : tu as un rationnel \(r=1+\frac{1}{1!}+...+\frac{1}{n!}\) donc \(r<e<r+\frac{1}{n!}\)
donc en multipliant tout par n!, chacune des fractions contenues dans r donne un nombre entier (car le dénominateur est un nombre entier contenu dans la factorielle)
donc n!r est un entier donc n!r<e<n!r+1 donc on a bien deux entiers consécutifs qui encadrent n!e
Si n était supérieur à q, n! contiendrait le facteur q donc le produit \(n!e=n!\frac{p}{q}\) deviendrait un entier car le q au dénominateur se simplifierait.
donc n<q
Voilà...

[Nikita]

Bonsoir,

Merci beaucoup, j'ai à peu près compris.
Et oui je suis en terminale S mais j'ai un prof un peu ...exigeant on va dire :)

[SoS-Math(9)]

Bon courage pour la suite,
SoSMath.