Exponentielles

[Nikita]

Bonjour, on vient de commencer la fonction exponentielle et j'ai un peu de mal à faire cet exercice :

Pour tout réel x on pose : g(x) = \(\frac{(e^x)+(e^-x)}{2}\) et h(x) = \(\frac{(e^x)-(e^-x)}{2}\)
1.Démontrez que [g(x)]² - [h(x)]² =1.
2. Démontrez que g(2x) = 2 [g(x)]² -1 et que h(2x) = 2g(x) * h(x).

Pour la question 1 je sais qu'il faut montrer que [g(x)]² - [h(x)]² = e^0 mais je ne sais pas comment faire.
J'ai commencé par écrire que c'était égal à : (\(\frac{(e^x)+(e^-x)}{2}\))² - (\(\frac{(e^x)-(e^-x)}{2}\))²

= (\(\frac{(e^x)+(1/e^x)}{2}\))² - (\(\frac{(e^x)-(1/e^x)}{2}\))²
Mais je ne sais pas comment "distribuer" le carré, est-ce qu'on doit considérer ça comme une identité remarquable ou c'est pas possible car e est une fonction et non un réel ? Pour la 2 je ne sais pas non plus comment faire.

Merci beaucoup.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
\(g^2(x)-h^2(x)=\left(g(x)+h(x)\right)\left(g(x)-h(x)\right)\).
Ensuite, cela fonctionne bien, puisqu'on trouve \(g(x)+h(x)=e^x\) et ...
A vous de continuer.
A bientôt.

[Nikita]

Bonsoir,

D'accord donc je trouve que c'est égal à \(e^x\) * e^(-x) = \(e^0\) = 1. C'est ça ?

Mais ensuite pour la question suivante je n'y arrive pas non plus :
J'ai g(2x) = ((e^(2x) + e^(-2x))/2 puis dans ça je remplace e^(-2x) par 1/e^(2x) mais je n'arrive pas à simplifier ça pour trouver ce qui est demandé.

Merci de votre aide.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Nikita,
Pour la première question, tout va bien.
Pour la deuxième question, je vous conseille de partir de \(2(g(x))^2-1\).
Cela donne \(2\frac{(e^x+e^{-x})^2}{4}-1\).
N'oubliez pas aussi que \((e^x)^2=e^{2x}\).
A bientôt.