etude de fonctions exponentielles

[Marie]

Bonjour,

J'ai un DM de maths à faire mais j'ai quelques soucis.
Voici l'exercice avec mes quelques réponses.

Soit f une fonction définie et dérivable sur R.
On suppose que pour tout réel x : -f(x) inférieur ou égal à f'(x) inférieur ou égal à f(x)
On désigne par g et h les fonctions définies sur R pa r : g(x)=e^x * f(x) et h(x)=e^-x * f(x)

1) Montrer que g et h sont dérivables sur R et donner leurs fonctions dérivées.
J'ai dit que g et h sont dérivable sur R car elles sont composées de fonctions dérivables, soit : e^x, e^-x et f(x).
g'(x)= e^x * f(x) + f'(x) * e^x
h'(x)= e^-x * f(x) + f'(x) * e^-x

2) Montrer que g est une fonction croissante et que h est une fonction décroissante sur R.
Je sais qu'il faut montrer que g'(x) est positive : e^x est positive mais je ne sais pas comment le montrer pour f'(x) et f(x).
De même, je dois montrer que h'(x) est négative : e^-x est négative mais je ne sais pas pour f'(x) et f(x).

3) Déduire que, si f(0)=0, alors pour tout réel x : f(x)=0.
Je n'arrive pas a comprendre cette question.

si vous pouviez me donner quelques pistes,
merci.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Marie,

Attention ce sont des produits de fonctions, pas des fonctions composées.
Si \({-f(x)}\leq{f^,(x)}\) quelle inégalité obtiens-tu en ajoutant \(f(x)\) à chaque membre de l'inégalité ? Dans \(g'(x)\) mets \(e^x\) en facteur et conclus pour \(g(x)\).
Attention la dérivée de h comporte une erreur de signe, corrige et utilise l'aide suivante :
Si \({f^,(x)}\leq{f(x)}\) quelle inégalité obtiens-tu en retranchant \(f(x)\) à chaque membre de l'inégalité ? Dans \(h^,(x)\) mets \(e^{-x}\) en facteur et conclus pour \(h(x)\).

Ensuite si \(f(0)=0\), cherche le signe de \(g(x)\) et celui de \(h(x)\) et pense que l'exponentielle est toujours positive et déduisant la signe de \(f(x)\), il ne reste plus qu'à conclure.

Bonne continuation

[marie]

Merci de votre aide, cela m'a permis de finir l'exercice.