Exercice sur les complexes

[speedcash]

Bonjour,voila cet exercice me pose beaucoup de problème:

Dans le plan complexe P, rapporté au repère orthonormé direct (O, u, v), on considère les points A, b, C et D d'affixes respective :
za = 2i
zb = -1 + i
zc = -1+i
zd = 1 + i

1 soit f l'application de P / (B) dans P qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' ou z' = i ((z - 2i) / (z-i))

a) développer la quantité (z+1-i)(z-1-i)
b) chercher les points M vérifiant f(M)=M et exprimer leurs affixes sous forme algébrique puis trigonometrique

2a) monter que, pour tout z différent de i :
/z'/ = AM/BM'
Et que pour tout z différent de i et de 2i :
arg (z') = (vecteur BM, vecteur AM) + pi/2
b) Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M d'affixes z tels que /z'/ = 1
c Déterminer et construire l'ensemble (F) des points M d'affixes z tels que : arg (z') = pi/2 modulo 2pi

3a) Démonter que z'-i=1/(z-1)
En déduire : /z'-i/ * /z-i/ = 1 pour tout comlexe z different de i
b) soit M un point du cercle C de centre B et de rayon 1/2
Prouver que le point M' d'affixe z' appartient à un cercle de centre B dont on déterminera le rayon.


Voila j'espère que vous pourrez m'indiquer comment démarrer.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Voici une indication, juste pour démarrer, pas pour vous faire votre problème.
1a) (z+1-i)(z-1-i)=(z-i+1)(z-i-1)=(z-i)²-1², terminez de développer en utilisant une identité, sans oublier que i²=-1.
1b) Soit z l'affixe de M invariant, alors z'=z, soit \(z=\frac{i(z-2i)}{z-i}\).
En multipliant par (z-i) cela donne z(z-i)=i(z-2i), développez chaque membre, regroupez dans le membre de gauche, vous devez retrouver le résultat du 1a) donc en factorisant à l'aide de l'égalité du 1a) vous obtenez un produit qui doit être nul, ce que vous savez résoudre.
Vous trouvez alors deux valeurs possible pour z, l'une est à exclure, car elle donne B.

Il vous reste à conclure et à continuer.

Bon courage