Problème de maths sur les fonctions presque résolu !

[julie]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour m'aider a résoudre les questions manquantes de mon devoir et me corriger si j'ai fait des erreurs svp.

Voici le problème :

Dans l'impression d'un livre, on veut respecter sur chaque page des marges de 2 cm à gauche et à droite, de 3 cm en haut et en bas. On désigne par x la mesure en centimètres de la largeur de la page entière et par h la mesure en centimètres de sa hauteur. L'aire totale de la page est de 600cm².

1a) exprimez la hauteur y en fonction de la largeur x.
donc :
600 = x * h
h = 600 / x

1b) Déterminez l'aire, en cm2, de la surface imprimable d'une page en fonction de x et y.
donc :
A=(y-6)*(x-4)
Ai=xy-4y-6x+24
=600-4y-6x+24
=624-6x-2400/x

1c) Montrez que l'aire A(x) de la surface imprimable s'exprime, en fonction de x seulement, par A(x) = 624 6x 2 400/ x.
donc :
A(x) = 624 - 6x - 2400/x
x * h - 6x -4h+24 = 600
h(x-4) - 6x = 624 - 24

2) On considère la fonction f définie par f (x) = 624 - 6x - 2 400/x sur ] 0 ; + inf [
on pose g(x) = 624 - 6x et k(x) = -2400 / x sur ] 0 ; + inf [

2a) donner le sens de variation des fonctions g et k. justifier. Peut on en déduire le sens de variation de la fonction f? pourquoi?
donc :
g'(x) = -6
k'(x) = 2400/ x²
f'(x) = -6 +(2400 / x²)

f'(x) = (-6x² +2400) /x²
= -6 ( x²-400 / x²)
= -6 ( x+20)(x-20) / x²

g(x) est décroissante
k(x) est croissante
on ne peut pas conclure pour f(x)

donc on doit résoudre f'(x) = 0
f'(x) = -6 ( x+20)(x-20) / x²
f'(x) = 0 si et seulement si x+20 =0 ou x-20 = 0

2b) établir le tableau de variation de la fonction f. en utilisant la fonction MAX de la calculatrice, préciser le maximum de la fonction f et la valeur de x correspondante.
tableau de variation envoyé en pièce jointe.
ensuite j'ai trouvé mais je ne suis pas sur du tout :
le maximum qui est atteint pour x = 20 est vaut f(20)
donc : f (x) = 624 - 6x - 2 400/x
f(20) = 624 - 6 * 20 - 2400 / 20 = 384

3a) Déduire de la question 2b, les dimensions d'une page pour obtenir une surface imprimable maximale.



3b) calculer le pourcentage que représente cette aire maximale par rapport à l'aire totale.

Pour les question 3a et 3b je ne sais pas du tout comment faire, si quelqu'un pourrait m'aider et me corriger ce serait très gentil. Merci de votre aide :)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Je suis d'accord sur la démarche même si je n'ai pas personnellement vérifié tes calculs pour le sens de variation.
regarde à la calculatrice la courbe de f pour valider le tableau de variation.
Pour la fin de ton problème, il s'agit de revenir à la situation de départ : tu trouves une valeur de x pour laquelle l'aire imprimable est maximale : il s'agit manifestement de 20 cm, ce qui donne une feuille de format 20cm sur 30 cm.
Pour le pourcentage tu fais le calcul suivant \(\frac{\mbox{aire de la partie imprimable maximale}}{\mbox{aire de la feuille}}\times100\), ce qui mesurera la place que prend la zone imprimable.

[julie]

merci !

donc pour la dernière question pour le pourcentage, le calcul est donc :
((20*30) / 600 ) * 100 = 100 ?

donc le pourcentage que représente cette aire maximale par rapport à l'aire totale est de 100% ? cela me semble faux..

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Non, tu as calculé l'aire maximale de la zone imprimable, tu as du trouver 384, il me semble. C'est cette longueur qu'il faut mettre en rapport avec 600 !

[julie]

Ah oui merci, je me disais bien qu'il y avait un soucis ^^