Polynome de degrès 3

[Marie Ts]

Bonjour,

J'ai une question d'un exercice que je ne comprends pas:
On a g(x) = x ^3 - 3x - 4

1. Démontrer que g(x) = 0 admet une seule solution.

Alors je pense qu'il faut factoriser l'expression, par qqch comme ( x -y )( ax ^2 + bx + c)
où ( ax ^2 + bx + c )=Q(x)
Mais je ne connais ni a,b,c ! Comment trouver la racine du polynome (que j'ai noté y) pour ensuite factoriser ? :-S

Merci beaucoup,
marie

[SoS-Math(11)]

Bonjour Marie,

Ta méthode convient si tu as facilement une racine, ce qui n'est pas le cas ici.

Pense au théorème "si f est strictement monotone sur [a ; b] et si f(a)*f(b) est négatif alors f(x) admet une unique solution dans l'intervalle [a ; b]" on l'appelle théorème de bijection ou théorème de la valeur intermédiaire.

Pour connaître le sens de variation de g tu dois calculer sa dérivée et étudier son signe, construis le tableau des variations de g ce qui permet d'appliquer le théorème sur un intervalle convenable et de conclure.

Bon courage

[Marie Ts]

Oui, alors tout ca était demandé juste avant, je l'avais déjà fait.
Mais dans ce cas il y aurait deux solutions, une sur moins l'infini; 1 et une sur plus l'infini; 1 ?

[SoS-Math(11)]

Re bonjour,

Ta dérivée est juste mais elle s'annule pour deux valeurs de x, résout l'équation \(3x^2-3=0\) en mettant 3 en facteur puis en factorisant le reste à l'aide d'une identité. Il y a une autre solution inférieure à 1.
Ton tableau sera modifié en conséquence et tu verras qu'il n'y a bien qu'une seule solution à g(x) = 0

Bon courage

[Marie Ts]

Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Je viens seulement de remarquer que g(x) était un polynome de degrès 2 donc je pouvais aussi calculer delta, non ?
J'ai fait les deux manières!
Seulement je sais juste que g(x) est décroissante quand x=0 mais le tableau ne m'aide pas à trouver quand g(x) = 0 , si ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Tu as commis une erreur, ta dérivée est positive sur\(]-\infty;-1]\) donc la fonction est croissante.
La suite te semblera plus simple et cohérente.

Bonne continuation.

[Marie]

Merci beaucoup j'ai réussis à finir !! :) Merci encore de votre aide!