algèbre linéaire

[GG]

Bonsoir,


je bloque à la question 5) de cet exercice.

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.
On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.

Partie I

On suppose que vovow = 0, que vow $\neq$ 0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.
1) Démontrer que M1$\subset$ M2 et que M1 $\neq$ M2
2) Démontrer que E = N1 $\bigoplus$M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
3) Soit $\bar{v}$ la restriction de v à M2. Que dire de $\bar{v}$ o $\bar{v}$ ?
4) Déterminer le noyau et l'image de $\bar{v}$.



5) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est $\( \array{a&1&0\\0&a&0\\0&0&b}$\)


j'ai raisonné de la manière suivante,


soit la base(e1,e2,e3)
e1$\in$M1, e2 $\in$M2, et e3 $\in$N1

e1$\in$M1 <=> v(e1)=0 doù u(e1)=ae1


e3 $\in$N1 <=> w(e3)=0 d'où u(e3)=be3

donc j'ai la première et la troisième colonne.


au vu de la deuxieme colonne
faut que je trouve que u(e2)= e1 + a$e_2$

e2 $\in$ M2 <=> vov(e2)=0

v(u(e2) - a $e_2$))=0

et je ne sais plus que faire...



Merci d'avance

[SoS-Math(1)]

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