Suites

[mimilamouse]

Salut, voila j'ai fait la plupart des questions de mon devoir mais certaines questiions coincent :s

f la fonction déinie sur ]-00;6[ par f(x)=9/(6-x)

On définit pour toutentier naturel n la suite (Un) par
Uo=-3
Un+1=f(Un)

a- Démontrer que si x<3 alors 9/(6-x)<3

Merci de m'aider :)

Bonne soirée :D

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Si \(x<3\), alors \(-x>-3\), donc \(6-x>3\) et ainsi de suite...
Bon courage.

[mimilamouse]

Si x<3
alors -x>3
donc 6-x>3
puis 1/(6-x)<3
d'ou 9/(6-x)<3

Enfin de compte celle la était bidon ^^

En déduire que Un<3

On a 9/(6-x)<3
f(x)<3
f(Un)<3
donc Un<3

b - Etudier le sens de variation de Un

Il faut étudier le signe de Un+1-Un mais on ne connait pas Un parcontre on sait que Un<3

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Ce que vous avez écrit au début n'est pas tout à fait exact.
Si \(x<3\), alors \(-x>-3\), donc \(6-x>3\), donc \(\frac{1}{6-x}<\frac{1}{3}\).
A vous de finir.

Pour démontrer que \(u_n<3\), il faudra raisonner par récurrence et utiliser ce qui précède.

Pour le sens de variation, \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=\frac{9}{6-u_n}-u_n\).
A vous de trouver le signe.

A bientôt.

[mimilamouse]

Voila mes calculs=

<u>pour démontrer que Un<3</u>

INitialisation :

n=0 u(o)<3 Vraie

Hérédité :

Si on a u(p)<3 (hyporthese de recurence) alors u(p+1)<3

u(p+1)=f(Up)

D'après l'hypothese de reccurence,
Up<3
donc f(Up)<3
U(p+1)<3
L'heredite est verifiee

Conclusion : Pour tout entier naturel n, Un<3

b) <u>Sens de variation de (Un)</u>

u(n+1) - u (n) = 9/(6-Un)-Un

revient a f(x)=9/(6-x)-x
f(x)=(9-x(6-x))/(6-x)
f(x)=(x²-6x+9)/(6-x)

- 6-x<0
x<6

- x²-6x+9=0
On resoud le polynome du second degré. On calcule le discriminant.
D=b²-4ac
D=(-6)-4*1*9
D=0 donc une solution est possible.

x=-b/(2a)=6/2=3

( Tableau de signe + de variation allant de -00 à 3)

U(n) est croissante de -00 à 3

3)<u>Démontrer que (Vn) est une suite arithmetique de raison -(1/3)</u>

Initialisation v(0) = v(-1)-1/3

hérédité : v(n)=v(n-1) + r (hypothese de recurrence) alors v(n+1) = Vn +r

D'apres l hyptohese de recurrence,

Vn+1 = v(n-1) +r + r
v(n+1)=v(n)+r

L'heredité est verifiée

Conclusion = Pour tout entier naturel n, v(n+1)=v(n)+r

[mimilamouse]

Je pense avoir trouvé les réponses des autres questions mais je n'arribe pas à Démontrer que (Vn) est une suite arithmetique de raison -(1/3).

Je sais que je dois trouver

Vn+1 - Vn = - 1/3

Vn = 1/ (Un-3)

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
pour montrer que Vn est une suite arithmétique :
\(V_{n+1}=\frac{1}{U_{n+1}-3}\)
Vous savez que
\(U_{n+1}=\frac{9}{6-U_n}\)
Remplacez dans l'expression de \(V_{n+1}\) qui sera alors écrit en fonction de Un
Vous savez que \(V_{n}=\frac{1}{U_{n}-3}\)
Déduisez Un en fonction Vn et remplacez dans \(V_{n+1}\)
Bon courage