Integrale

[solm]

Bonjour,
1
Pn= (1/n!) S (1-x)^n exp(-x) dx
0

A l'aide d'une integration par partie, calculer P1

Je fais:
1
P1= (1/1!) S (1-x)^1 exp(-x)
0
u'=exp(-x) v=(1-x)^1
u=exp(-x) v'= -1

1 1
(1/1!) [ exp(-x).(1-x)] - S exp(-x). -1 dx
0 0
1
(1/1!) [exp(-x).(1-x) - exp(-x). -1]
0
(1/1!) (( exp-1).(1-1) - exp(-1). -1 ) - (exp(0). 1 - exp(0). -1))
(1/1!) ( exp(-1) - 1)

Mon calcul est juste , apres je ne comprends pas trop a quoi est egal 1/1!

[sos-math(13)]

Bonjour,

une primitive de \(e^{-x}\) n'est pas \(e^{-x}\). Tu peux la dériver pour le constater, et corriger le tir.

Par ailleurs, \(\frac{1}{1!}\) vaut 1, car \(n!=1\times2\times...\times{n}\).

Enfin, peux-tu présenter tes calculs avec les balises TeX. Pour une intégrale, tu pourras taper :
\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}{(1-x)^ne^{-x}dx}
et le placer entre les balises TeX, pour donner \(\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}{(1-x)^ne^{-x}dx}\)

C'est quand même plus agréable, et finalement pas très dur à écrire.

Bon courage.

[solm]

Bonjour,
ok merci

Pour la question ci dessous je ne vois pas comment faire .

3. Prouver que pour tout entier naturel n non nul :

0 < Pn < (1/n!) \frac{1}{n!}\int_{0}^{1}{e^{-x}dx}

En deduire
lim Pn
n->+inf

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Je ne suis pas sur de bien comprendre ta formule, puisqu'elle n'apparait pas correctement. Tu n'as pas du l'écrire entre deux balises tex. Il faut cliquer sur Tex, à côté de couleur de police pour faire apparaitre ces balises.

Ce que je peux dire , c'est que : pour tout x entre 0 et 1, on a : \((1-x)^n<1\) donc \((1-x)^ne^{-x}<e^{-x}\) donc \(\int_0^1(1-x)^ne^{-x}dx<\int_0^1e^{-x}dx\)

je te laisse continuer.

sosmaths

[solm]

excusez moi ^^

0<Pn< \(\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}{e^{-x}dx\)

la primitive de exp(-x) est (1/-1)exp(-x) soit -exp(-x) ?

[SoS-Math(4)]

c'est ça , ta primitive est juste, continue.

sosmaths

[solm]

Donc pour la question b

je fais

0<Pn< \frac{1}{n!}\int_{0}^{1}{e^{-x}dx

0<(1-x)^n . exp(-x) < exp(-x)

exp(-x)>1

(1-x)^n<1
(1-x)^n . exp(-x) < 1

(1-x)^n . exp(-x) < exp(-x)

[solm]

bonjour,

Pour la question 3.

je fais:

\(0<\int_0^1(1-x)^ne^{-x}dx<\int_0^1e^{-x}dx\)
\((1-x)^n<1\)
\((1-x)^n{e^{-x}}<1\)

\(e^{-x}>1\)

\((1-x)^n{e^{-x}}<e^{-x}\)
\(\int_0^1(1-x)^ne^{-x}dx<\int_0^1e^{-x}dx\)

Edit : oubli des balises TeX

[SoS-Math(9)]

Bonjour solm,

Ce que tu as écrit semble juste ...
Cependant, si \((1-x)^n<1\), alors en multipliant par \(e^{-x}\), qui est POSITIF quelque soit le réel x, dans les deux membres de l'inégalité,
tu obtiens \((1-x)^n{e^{-x}}<e^{-x}\).

Je ne comprends pas pourquoi tu as écrit :
\((1-x)^n{e^{-x}}<1\)
\(e^{-x}>1\) ?

SoSMath.