suites et intégrales

[Solène]

Bonsoir

On considère les suites (\(x_{n}\)) et (\(y_{n}\)) définies pour tout entier naturel n non nul par :

\(x_{n}=\int_{0}^{1}t^{n}costdt\) et \(y_{n}=\int_{0}^{1}t^{n}sintdt\)

1)a) Montrer que la suite (\(x_{n}\)) est à termes positifs.

b) Etudier les variations de la suite (\(x_{n}\))

c) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (\(x_{n}\)) ?

Je bloque à la question 1)b).
J'ai calculé les 2 premiers termes. Je trouve \(x_{1}=sin1-cos1-1\) et \(x_{2}=sin1+2cos1+2sin1\).
Je suppose donc que la suite est croissante (\(x_{2}>x_{1}\)).

Il faut ainsi prouver que \(\int_{0}^{1}t^{n+1}costdt>\int_{0}^{1}t^{n}costdt\)
Ce qui équivaut à dire que \(\int_{0}^{1}cost*t^{n}(t^{n}-1)dt>0\)

Je veux ensuite étudier le signe de \(cost*t^{n}(t^{n}-1)\) qui doit être positif.
Mais est ce que \(t^{n}-1>0\) ?

Merci d'avance

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Solène,

Je ne suis pas d'accord avec vos calculs de x1 et de x2, dans ton intégration par partie tu as du faire une erreur de signe, il y a deux signes moins, celui de la formule et celui de la dérivée de cos(t) qui est -sin(t).
De plus \(x_{n+1}-x_n\) donne \(\int_{0}^{1}t^n(t-1)cos(t)dt\) et quel est le signe de (t-1) pour 0 < t < 1 ?
Donc \((x_n)\) ne me semble pas croissante.
Pour la convergence il suffit d'appliquer un théorème liant le sens de variation et la minoration ou la majoration.

Bonne suite d'exercice

[Solène]

Bonsoir

\(\x_{1}=sin1+cos1-1\) et \(\x_{2}=2cos1-sin1\)

(t-1) est négatif quand 0<t<1 , on a cos(t) positif et \(t^{n}\) positif. Donc la suite est croissante.

Merci

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

OK pour x1 et x2.

OK pour les signes, mais pas pour la conclusion, l'intégrale \(\int_{0}^{1}t^n(t-1)cos(t)dt\) sera négative comme \(x_{n+1}-x_n\) et dans ce cas quel est le sens de variation de la suite ?

bonne fin d'exercice

[Solène]

Re bonsoir

\(x_{n+1}-x_{n}<0\) <=> \(x_{n+1}<x{n}\) Donc la suite est décroissante

Merci encore

[SoS-Math(7)]

Oui Solène, ta conclusion est juste.

A bientôt sur SOS Math