Nombre Complexe

[Anthony]

Bonjour, j'utilise le livre Pixel de Bordas en terminale S et je but sur un exercice des nombres complexes. (exercice 99 page 211).

L'énoncé:
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O;vecteur u,vecteur v) (unité graphique: 2cm), on considère les points A,B et C d'affixes respectives a=2, b=1-i et c=1+i.

La question qui me pose problème est la suivante: 2)a: On appelle r la rotation de centre A telle que r(B)=C.
Déterminer l'angle r et calculer l'affixe d du point D=r(C).

Je connais la formule de la rotation dans un plan complexe mais je n'ai pas d'idée sur la résolution de cette question d'autant que je ne comprend pas la notation r(B)=C.
Merci de votre réponse.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

D'abord, il faut faire un dessin exact, vous pouvez même à l'aide d'un rapporteur mesurer l'angle géométrique BAC.

Ensuite pour calculer l'angle de cette rotation qui est \((\vec{AB};\vec{AC}\)) vous calculez ( voir formule du cours ) arg((c-a)/(b-a))

D'autre part r(B)=C signifie que C est l'image de B par la rotation r.

sosmaths

[Anthony]

Donc l'angle r vaut r=-π/2 comme on a C image de B, et arg((c-a)/(b-a))=-i
Je peux alors appliqué la formule de la rotation, toujours de centre A pour le point d?
Ce qui donne Z'-Za=e^-iπ/2(Zb-Za)
Z'=(-i)*(1+i-2)+2
Z'=3+i
Donc on a Z' équivaut au point D, d'ou l'affixe de d est Zd=3+i ?

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Bravo, tu as trouvé et le dessin confirme ce résultat.

sosmath

[Anthony]

Je vous remercie, de votre réponse,
Excusez moi de ne pas avoir répondu plutôt a votre réponse, maintenant dans l'avancé de l'exercice j'ai essayé de répondre a une question mais je ne suis pas sûr de ma réponse:

La question était: Soit T le cercle de diamètre [BC]. Déterminer et construire l'image T' du cercle Tpar la rotation r.

J'ai trouvé ceci est-ce-que c'est correcte?
J'ai pris le centre du cercle T ((1+i)+(1-i))/2=1 donc le centre de T est le milieu [BC] et de coordonnée (1,0)
Ensuite je prend le point du centre du cercle T pour l'appliqué dans la formule de la rotation, ce qui me donne
Zt'-Zt=e^-iπ/2(Zb-Zt)
Zt'=(-i)*(1-i-1)+1
Zt'=-1+1
Zt'=0
Donc le cercle T' est de coordonée de centre (0,0) et du même diamètre que le cercle T comme tout les points du cercle T sont image par la rotation r par rapport à T'.
Merci

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié ton calcul, mais la méthode est juste.
Je t'invite d'ailleurs à vérifier sur le dessin.
sosmath

[Anthony]

Sur le dessin sa me semble correcte puique on retrouve des similitudes avec la suite des questions de l'exercice, mais je ne comprend pas et dont j'ai aucune idée à la damérche à entreprendre pour le résoudre.
On me demande: Soit M un point de Td'affixe Z, disctinct de C et M' d'affixe Z' son image par r. a) Montrer qu'il existe un réel θ appartenant à [0;π/2π/2,2π[ tel que z=1+e^iθ.
Merci de votre aide car là je n'ai pas d'idée de piste.

J'ai cependant vu que si on met θ=2π=π/2 on retrouver une concordance avec les affixes des points B,C et A du début et que tu le dessin ces angles étaient les intersections des cercles T et T' ( que pour les points B et C).
Merci

[SoS-Math(2)]

Bonjour Anthony,
si vous voulez que nous vous aidions, envoyez-nous un message compréhensible
Relisez -vous avant de cliquer sur envoyer.
Voici la dernière phrase de votre message :

J'ai cependant vu que si on met θ=2π=π/2 on retrouver une concordance avec les affixes des points B,C et A du début et que tu le dessin ces angles étaient les intersections des cercles T et T' ( que pour les points B et C).

Corrigez la pour que nous puissions comprendre.
A bientôt

[Anthony]

En faite je disais : J'ai cependant vu que si on met θ=2π OU θ=π/2 on retrouver une concordance avec les affixes des points B,C et A du début et que SUR le dessin ces angles étaient les intersections des cercles T et T' ( que pour les points B et C).
Excusez moi^^

[sos-math(19)]

Bonsoir Anthony,

Zt'-Zt=e^-iπ/2(Zb-Zt)
Zt'=(-i)*(1-i-1)+1
Zt'=-1+1
Zt'=0

Ce calcul est incorrect.

T' est l'image de T par la rotation de centre A et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\).
Respecte l'écriture complexe de cette rotation.
Ton résultat est aussi incorrect : T' n'a pas pour centre le point O.

Soit \(\omega\) l'affixe du centre de T et \(\omega{'}\) l'affixe du centre de T'.
On a : \(\omega{'}-a=e^{-i\frac{\pi}{2}}(\omega-a)\).

Essaye maintenant de calculer \(\omega{'}\).

Bon courage.

[Anthony]

Bonjour,

ω'=2+i ce qui semble correcte sur le dessin comme ça on a le centre du cercle T' milieu de [CD].
Une question: On a mis dans la formule "a" comme un point quelquonque du cercle pour déterminer le centre de T' comme on aurait pu prendre "b" ou il fallait seulement prendre le point "a"?
Merci

[sos-math(19)]

Bonjour Anthony,

Bravo, c'est la bonne valeur pour \(\omega'\).

On a mis \(a\) dans la formule parce que c'est l'affixe du centre de la rotation.
Il faut revoir l'écriture complexe d'une rotation et bien comprendre ce qu'elle contient et dans quel ordre c'est écrit.

Tu peux maintenant envisager de passer à question 3.

A bientôt.