représentation paramétriques de droites

[Coralie (Scientifique)]

Bonjours j'ai un Dm de maths à faire pour la rentrée, j'ai réussit le premier exercice mais j'ai du mal pour le deuxième, si vous pourriez me donner un petit coup de pouce je vous en remercie

On considère les droites (d) et (d') suivantes:
x=2t
(d): y=3-4t avec t appartient à R
z=1

x=1
(d') y=2+t' avec t' appartient à R
z=3t'+4

1) Montrons que (d) et (d') sont sécantes en un point A dont on donnera les coordonnées.
2) Soit B(-1;2;3)
a) Montrer que B n'est pas dans le plan déterminé par les droites (d) et (d').
b) A tout point de (d) de paramètre t, on associe f(t)=BM². Calculer f(t) et déterminer pour quelle valeur \(\t_{0}\) de t, f(t) est minimal.
Que peut-on dire du point H de (d) de paramètre \(\t_{0}\)?
c) En procédant de même, déterminer le point K de (d') dont la distance à B est minimale.
3) Montrer que le tétraèdre ABHK est inscrit dans une sphère que l'on déterminera.



Voila j'ai réussi la première question et j'ai trouvé A(1;1;1)

En revanche je n'arrive pas dans les questions suivantes. J'attend votre aide avec impatience

Merci. Coralie

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

La droite (d) a pour vecteur directeur u(2,-4,0) et la droite (d') a pour vecteur directeur v(0,1,3)

Si B appartient au plan défini par (d) et(d'), c'est que le vecteur AB( -2, +1, +2) s'exprime en fonction du vecteur u et du vecteur v.
C'est à dire qu'il doit exister k et k' tel que vect(AB) = k.vect(u)+k'.vect(v)

Ecrivez le système de 3 équations à 2 inconnues. S'il a une solution , alors B appartient au plan défini par d et d'. Sinon, B n'appartient pas au plan .......

sosmaths

[Coralie (Scientifique)]

Ha oui merci
j'avais pensé à utiliser les vecteur coplanaires mais je n'avais pas pensé à utiliser le vecteur AB donc avec seulement le vectuer u et le vecteur pas facile !!
oui en effet je trouve que B n'appartient pas au plan déterminé par les 2 droites
je n'ai pas compris par contre la question 2)b) comment calculer f(t)?
Merci bonne soirée
Coralie.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

M est un point de (d) donc il existe un réel t tel que M(2t, 3-4t,1)
Vous connaissez B, donc vous pouvez calculer BM² en fonction de t. Vous obtenez f(t).

sosmaths

[Coralie (Scientifique)]

Ha oui que suis-je bete je n'avais pas pensé pour le point M !!
Alors j'ai calculé et j'ai trouvé f(t)= 20t²-4t+6
Donc après je voulais faire le delta pour trouver les solution et donc t0 mais le probleme c'est que je trouve delta négatif donc pas de solutions possibles.
Je ne trouve pas mon erreur, ou alors ce n'est pas la bonne méthode utilisé !
J'ai besoin de votre lumière pour m'éclairer
Je vous en remercie, bonne soirée
Coralie.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Tu ne te poses pas les bonnes questions. Il ne s'agit pas de calculer t pour que f(t) soit nulle ( ce qui est certainement impossible, réfléchis pourquoi ?) mais de calculer t pour que f(t) soit minimum, ce qui n'est pas le même problème.
Un peu de réflexion et moins d'automatisme , et tu y arriveras.

sosmaths

[Coralie (Scientifique)]

oui escusez moi j'avais en tête l'idée d'utiliser la dériver car en fait je voulais trouver le minimum avec le sens de variations!
et d'ailleurs j'ai réussis !!
Sinon pour la 2)b) j'ai pas trsè bien compris la question en ce qui concerne le point H. Il faut donner ses coordonnées?
Et pour Montrer que le tétraèdre ABHK est inscrit dans une sphère que l'on déterminera, je ne vois pas trop comment débuter. Faudrait-il utiliser le milieu des diagonales, donc l'intersections de AH et BK, pour trouver le centre de la sphere? Ou bien je ne suis aps sur la bonne voie?

Je vous remercie
Coralie

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

Question 2b : Après avoir calculé la valeur \(t_0\) qui rend f minimale, tu utilises cette même valeur \(t_0\) pour calculer les coordonnées du point H correspondant de d.
Question 2c : Tu considères un point M' de d' et la fonction g qui à t' associe BM'². Après avoir calculé la valeur \(t'_0\) qui rend g minimale, tu utilises cette même valeur \(t'_0\) pour calculer les coordonnées du point K correspondant de d'.
Question 3 : Le chemin le plus court pour aller d'un point à une droite est la distance qui joint ce point à son projeté orthogonal sur cette droite. Tu as donc des raisons de penser que le triangle ABH est rectangle en H et qu'en conséquence le point H est sur la sphère de diamètre [AB]. Même raisonnement pour le point K. Quel centre I peux-tu conjecturer pour la sphère ? Il reste à vérifier que IA² = IB² = IH² = IK².

Bonne continuation.

[Coralie (Scientifique)]

Bonsoir,
Oui merci j'avais pensé que la distante la plus courte c'était le projeté orthogonal mais je ne pensais pas l'utiliser ici
Sinon pour le point I serait-il le centre de gravité du tétraèdre? Dons soit I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des arêtes [BH], [HK], [KB], [AB], [AH], [AK] et G1, G2, G3, G4 les centres de gravité des triangles BHK, HKA, KAB et ABH. Il nous reste à démontrer que les droites (AG1), (BG2), (HG3) et (KG4) sont concourantes?? Ou suis-je à l'opposer?
Je vous remercie
Bonne soirée
Coralie

[Coralie (Scientifique)]

Ou sinon on sait que le centre I de la sphère inscrite à un tétraèdre (ABCD) vérifie I = (Sa/S)A+(Sb/S)B+(Sc/S)C+(sd/S)D où Sa, Sb, Sc et Sd sont les aires des faces opposées à A, B, C et D respectivement, et S=Sa+Sb+Sc+Sd l'aire du tétraèdre.
Mieux vaut-il utiliser cela?

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

Rien de tout cela. Quelles complications vas-tu chercher ?

Dans un plan, où se situe le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?

Reprends mon message précédent et tu sauras conjecturer la position du centre I de la sphère circonscrite au tétraèdre ABHK.

Bon courage.

[Coralie (scientifique)]

A oui avec un schéma on peut constater que le centre du cercle circonscrit à ABH et le même que pour le triangle ABK, donc ce centre serait le centre de la shpère! Suis-je sur la bonne voie? J'en ai bien l'impression !
Je vous remercie
Coralie

[sos-math(19)]

Bonjour Coralie,

Oui, c'est bien, tu peux continuer...

[Coralie (scientifique)]

Je vous remercie de m'avoir expliqué les démarches à utiliser, je vais retravailler tout cela et recopier mon DM au propre.
Merci beaucoup.
Bon week end.
Coralie;

[sos-math(19)]

Bonjour Coralie,

Pour terminer, reprends mon message du 16 à 23 h 16.

A bientôt sur sos-math, pour un autre sujet.