Les fonctions

[Benoit]

Bonjour à tous,
J'ai donc trouver quelques difficulté dans ma progression de mon exercice; j'attend donc des piste et des méthode pour y parvenir.
Voici le sujet:*soit la fonction définie sur [0;+00] par :f(x)=ln(1+xe^-x). On note f' la fonction dérivée de la fonction f dans un repére orthogonal. On note C la courbe représentative de f dans un repére orthogonal.
a)Justifier que: lim x tend vers +00 f(x)=0
Donc ici je calcule la limite à l'aide des fonction composées:
soit U=1+e^-x et u'=e^-x
donc on fait: U'(x)/U(x) soit (ln(1+xe^-x))/e^-x Cependant je ne c'est pas de quelle maniére achever le calcule.

b)Justifier que, pour tout nombre réel positif x, le signe de f'(x) est celui de 1-x.
Ici, je ne c'est pas de quelle manière puis je traiter cette question.

merci d'avance.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Je ne comprends pas ce que vous faîtes.
Trouver la limite d'une part et trouver la fonction dérivée d'autre part sont deux choses différentes.
Pour la limite, on commencera à chercher \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{1+\frac{x}{e^x}}\)
Pour la fonction dérivée, il faut poser en effet \(u(x)=1+xe^{-x}\).
On cherchera \(u'(x)\) et on aura \(f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}\).
A bientôt.

[Benoit]

Mais je ne comprend pas de quelle maniére arriver vous à lim x tend vers +00 de 1+ x/e^x
En effet, je devrais calculer la limite de lnU soit d'abord 1+xe^-x en +00 . soit lim x tend vers +00 U= +00 puis lim x tend vers +00 de ln x = +00.
Mais cela ne correspond pas au résultat demandé.

[Benoit]

Je ne comprend pas de quelle maiére arrive vous à ce résutat. En effet, je devrais appliquer la limite d'une fonction composée. soit lim x tend vers +00 de 1+xe^-x, ce qui fait +00. Puis, lim de x vers +00 de ln x= +00.
cependan je ne trouve pas le résultat annoncée.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Benoît,
On cherche \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{\ln{(1+xe^{-x})}}\).
Donc on commence par trouver \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{xe^{-x}}\).
On en déduit \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{1+xe^{-x}}\).
Et enfin, on en déduit \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{\ln{(1+xe^{-x})}}\).
A bientôt.

[Benoit]

D'accord.
Donc pourlim x tend vers +00 xe^-x=0 vu que lim x tend vers +00 e^-x=0.
Donc dans la parenthése on a une limite qui tend vers 1. Cependant, lim x tend vers +00 de ln(1+xe^-x) celacfait +00.
ET cel n'es pas corect.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Benoît,
Comment ça, ce n'est pas correct.
\(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{(1+xe^{-x})}=1^+\) et \(\lim_{X\rightarrow~1^+}{\ln(X)}=0^+\).
A bientôt.

[benoit]

re re re bonjour,
je vous remercie. Je n' avais pas bien fais les régle sur les limite. et de sorte à se que je finisse mon exercise; pourviez vious me donner la méthode pour faire la question b)
je vous remercie d'avance.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
commencez par calculer la dérivée de f puis simplifiez la
Bon courage

[Benoit]

A ok. Ainsi cela nous donne: F(x)=lnU
U=1+xe^-x et U'=-e^-x
F'(x)= U'(x)/U(x)
= -((e^-x)/(1+xe^-x))
= - (1/1+x)


En suite nous pouvons en déduire que, comme le signe de f'(x) est clui de 1-x alor f(x) est décroissante lorsque x inf à -1
est croissante lorsque x sup à -1
J'aimerais savoir si mon résonnement est corecte.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Benoît,
Vous avez une erreur dans la dérivée de u.
\(u(x)=1+xe^{-x}\)
\(u'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)\).
A bientôt.

[Benoit]

Mais alor, cela nous fait;
U'(x)/U(x)= (e^-x(1-x))/(1+xe^-x)
=(1-x)/(1+x)

Cependant la démonstration que j'ai donné pour les variation de f(x) sont toujours juste?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Benoît,
Non, toujours pas... Vous n'êtes pas très vigilant dans vos calculs.
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(e^x\).
Cela donne \(\frac{e^{-x}(1-x)}{1+xe^{-x}}=\frac{e^xe^{-x}(1-x)}{e^x(1+xe^{-x})}\).
On sait que \(e^xe^{-x}=1\). Au dénominateur, il faudra distribuer.
A vous de finir: je suis en train de tout vous faire!
A bientôt.