Fonction logarithme népérien

[Lill0u]

j'ai un gros probleme avec cet exercice! Je ne comprend rien ... pouvez vous m'aider s'il vous plait

voici l'énoncé :
PARTIE A

soit f la fonction définie sur ]1;+l'infini[ par : ln(x^3-x²).

1) justifier que, pour tout x de l'intervalle ]1,+l'infini|[, f(x) est défini.

2) déterminer lim f(x) quand x tend vers 1
lim f(x) quand x tend vers + l'infini

3)on note f ' la fonction dérivée de f.
vérifier que pour tout x dans l'intervalle ]1,+ l'infini[ , f '(x) = 3x-2 / x(x-1)

dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]1,+l'infini[ .

4) a) démontrer que l'équation f(x) = 0 admet sur ]1,+l'infini[ une solution unique a. Donner la valeur arrondie de a à 10^-1 près
b) démontrer que f(x) est strictement positif sur ]a;+l'infini[

5) soit h la fonction définie sur ]1,+l'infini[ par :
h(x) = 2x ln (x) + (x-1) ln(x-1)
pour tout x de ]1,+l'infini[, calculer h '(x). En déduire une primitive de la fonction f sur ]1,+l'infini[.

PARTIE B

On considère une machine produisant un composé chimique liquide. Pour qu'elle soit rentable, cette machine doit produire au moins 2 hectolitres.

De plus, le liquide produit est dangereux et impose une fabrication maximale de 9 hectolitres avant révision de la machine.

Pour tout x de [2;9] , la valeur du coût marginal C(x), exprimé en milliers d'euros est donné par :
C(x) = ln (x^3 - x²) et Ct(x) est le cout total de fabrication de x hectolitres de liquide.

On rappelle que C 't(x) = C(x) , où C 't désigne la fonction dérivée de Ct.
Le côut total des deux premiers hectolitres (mise en route de la machine et fabrication) est 10 milliers d'euros, ce qui se traduit par Ct(2) = 10

1) déterminer le cout total Ct(x) en fonction de x

2) a) calculer Ct (9) - Ct (2).
On donnera d'abord la valeur exacte, puis une valeur approchée à l'euro près.


Merci d'avance!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Commence par me dire ce que tu as déjà fait, nous ne sommes pas là pour faire ton exercice mais pour te guider dans sa résolution.

Un piste pour débuter : ln(A) existe si A > 0 tu sais que x > 1 que peux-tu en conclure pour \(x^3 - x^2\) ?

Dans ton cours tu connais la limite de ln(x) quand x tend vers 0, quand x tend vers 1, vers quelle valeur tend \(x^3 - x^2\) ? Conclus.
De même tu connais la limite de ln(x) quand x tend vers l'infini, que fait \(x^3 - x^2\) quand x tend vers + l'infini ? Conclus.

Dans ton cours tu as la formule : \(ln(u)'=\frac{u'}{u}\) applique-là et simplifie par x.
Pense alors que 3x - 2 > 1 pour x > 1 et déduis-en le tableau de signe et la suite.

Voilà pour commencer, on verra demain pour la suite, bon courage