Complexes et suites

[Aurélie]

Bonsoir,
Voila j'ai un petit problème.

voici l'énoncé :
z est un nombre complexe et z'= 1 + z + z\(^{2}\)+z\(^{3}\)+z\(^{4}\)

La première question était de vérifer que z' = \(\frac{1-z^{5}}{1-z}\)si z différent de 1. J'ai réussi.
On nous demande ensuite que vaut z' si z = e\(^{i(2\pi)/5}\). J'ai trouvé 0.
On nous demande alors d'en déduire la valeur de S=1+cos(2\(\pi\)/5)+cos(4\(\pi\)/5)+cos(6\(\pi\)/5)+cos (8\(\pi\)/5). Je pensais que cela valait 0 mais en relisant ma démonstration, je n'arrive pas à cela ..

j'ai fait ceci :
S= 1+ e\(]^{i(2\pi)/5}\)+e\(^{i(4\pi)/5}\)+e\(^{i(6\pi)/5}\)+e\(^{i(8\pi/5)}\)
S=1+cos( \((2\pi)/5\))+isin(\((2\pi)/5\))+cos(\((4\pi)/5\))+isin(\((4\pi)/5\))+cos(\((6\pi)/5\))+isin(\((6\pi)/5\))+cos(\((8\pi)/5\))+isin(\((8\pi)/5\))

Mais ensuite je suis bloquée ... j'ai bien essayé plusieurs choses mais sans résultat .. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?


Merci d'avance

[SoS-Math(8)]

Bonjour Aurélie,

\(1+cos(2\pi/5)+cos(4\pi/5)+cos(6\pi/5)+cos (8\pi/5)\), correspond à la partie réelle de z' lorsque \(z=e^{{i\frac{2\pi}{5}}\). Or justement tu as démontré que dans ce cas z'=0.
donc \(1+cos(2\pi/5)+cos(4\pi/5)+cos(6\pi/5)+cos (8\pi/5)=0\).

Dans ta démonstration, tu n'avais plus qu'à isoler partie réelle et partie imaginaire...

[Aurélie]

d'accord ! Merci, je cherchais trop compliqué en fait ..

le problème c'est qu'ensuite la question est "montrer que \(cos(2\pi/5)\) + \(cos(8\pi/5)\) = \(4cos^{2}(\pi/5)\) - 2 "


Je ne vois vraiment pas .. je pense qu'il faut utiliser le fait que S=0 mais je ne vois pas du tout ..


Merci encore pour votre aide

[SoS-Math(8)]

Il vaut mieux partir de l'expression de droite:
\(4cos^2(\pi/5)-2=2(2cos^2(\pi/5)-1)=2cos(2\pi/5)\).
Ensuite \(cos(8pi/5)=cos(2\pi-2\pi/5)=cos(2\pi/5)\).

Puis conclusion demandée...

[Aurélie]

Merci beaucoup !
J'ai compris car grace à vous j'ai réussi à démontrer la question suivante : Montrer que \(cos(4\pi/5)+cos(6\pi/5)= -2cos(\pi/5)\).

"En déduire que \(cos(\pi/5)\) est solution d'une équation de second degrè ":
J'ai trouvé l'équation suivante : \(4cos^{2}(\pi/5)-2cos(\pi/5)-1=0\)
Donc \(cos(\pi/5)\) est solution de l'équation \(4X^{2}-2X-1=0\)

Mais la question d'aprés me pose problème : Résoudre cette équation et donner la valeur exacte de \(cos(\pi/5)\) j'ai essayé de résoudre l'équation plusieurs fois mais je n'ai jamais trouvé la bonne valeur (en comparant avec ma calculatrice). Je ne sais pas comment faire ?


Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Aurélie,
On trouve \(\Delta=20\).
On trouve deux solutions: \(X_1=\frac{2-\sqrt{20}}{8}\) et \(X_2=\frac{2+\sqrt{20}}{8}\).
Il y aura l'une des deux solutions qu'il faudra écarter.
Sinon, l'autre solution convient parfaitement.
A bientôt.

[Aurélie]

C'est exactement ce que j'avais trouvé finalement .. J'ai du mal taper à la calculatrice.
Merci encore !

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,
Soit, c'est mal tapé à la calculatrice, soit il y a peut-être un problème avec les unités d'angles: degré, radian, grade.
A bientôt.