nombres complexes

[Solène]

Bonsoir

On pose z1= \(\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\) et z2=1-i

1) Ecrivez z1, z2 et z=z1/z2 sous forme trigonométrique.
2) Déduisez-en cos(\(\pi\)/12) et sin(\(\pi\)/12)
3) Résolvez dans [-\(\pi\);\(\pi\)[ l'équation : (\(\sqrt{6}\)+\(\sqrt{2})cosx+(\sqrt{6}\)-\(\sqrt{2}\))sinx=2

1) z1=\(\sqrt{2}\)(cos(\(\pi\)/6)+isin(\(\pi\)/6))
z2=\(\sqrt{2}\)(cos(-\(\pi\)/2)+isin(-\(\pi\)/2))
z=cos(2\(\pi\)/3)+isin(2\(\pi\)/3)

Je n'ai pas compris la question 2.

Pour la question 3, je ne vois pas comment résoudre l'équation. J'ai développé mais je n'aboutis à rien. Je ne parviens pas à factoriser.

Merci d'avance

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Le calcul de \(z_1\) est correct.

Tu as fait une erreur dans le calcul de \(z_2\), donc dans celui de z et cela t'empêche de comprendre la suite.

Bon courage.

sos-math

[Solène]

z2= \(\sqrt{2}\)(cos(-\(\pi\)/4)+isin(-\(\pi\)/4))

z= cos(5\(\pi\)/12)+isin(5\(\pi\)/12)

2)z0= \(\frac{|z|}{2|z1|}\)= \(\frac{1}{2\sqrt{2}\)=\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Arg(z0)=Arg(z)-2Arg(z1)=\(\frac{5\pi}{12}\)-2*\(\pi\)/6=\(\pi\)/12

z0=\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)(cos(\(\pi\)/12)+isin(\(\pi\)/12))

Est-ce bien ce qu'on me demande ?

[sos-math(15)]

Bonjour Solène,

Je suppose que \(z_0=\frac{z}{2z_1}\).

Si tu trouvais la forme algébrique de \(z_0\), tu pourrais en déduire les valeurs demandées n'est-ce pas ?

Bonne continuation.

Sos-math

[Solène]

Bonjour

z0=\(\frac{z}{2z1}\)=\(\frac{z1}{z2*2z1}\)=\(\frac{1}{z2*z1}\)=\(\frac{\overline{z2}*\overline{z1}}{|z2*z1|^2}\)

en utilisant cette formule, je trouve z0=\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}\)+\(\frac{i(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{8}\)

Donc
\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)*cos\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)*sin\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}\)

J'ai vérifié à la calculatrice, mon résultat est faux.
Je ne trouve pas mon erreur.

[sos-math(15)]

Bonjour Solène,

La "mise en indice" se fait avec un tiré bas : (TeX)z_0(/TeX).

Ton calcul est donc \(z_0=\frac{z}{2z_1}=\frac{z_1}{2z_1z_2}\) qui se simplifie en \(\frac{1}{2z_2}\) non ?

Bon courage,

Sos-math

[Solène]

je trouve \(z_0\)=\(\frac{1}{4}\)+\(\frac{1}{4}\)i

[sos-math(19)]

nombres complexes

Messagede Solène le Sam Nov 14, 2009 8:06 pm
Bonsoir

On pose z1= \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2} et z2=1-i

1) Ecrivez z1, z2 et z=z1/z2 sous forme trigonométrique.
2) Déduisez-en cos(\pi/12) et sin(\pi/12)
3) Résolvez dans [-\pi;\pi[ l'équation : (\sqrt{6}+\sqrt{2})cosx+(\sqrt{6}-\sqrt{2})sinx=2

1) z1=\sqrt{2}(cos(\pi/6)+isin(\pi/6))
z2=\sqrt{2}(cos(-\pi/2)+isin(-\pi/2))
z=cos(2\pi/3)+isin(2\pi/3)

Je n'ai pas compris la question 2.

Pour la question 3, je ne vois pas comment résoudre l'équation. J'ai développé mais je n'aboutis à rien. Je ne parviens pas à factoriser.

Merci d'avance

Si tu es toujours sur ce problème, il faut reprendre le calcul de \(z_1\) qui était faux en réalité : excuse-moi, j'avais du répondre un peu vite et je reviens juste à l'ordinateur.

Je ne comprends pas la suite de ton travail avec le \(z_0\) que tu calcules.

A bientôt.

sos-math

[Solène]

Bonsoir,

\(\z_1\)=\(\sqrt{2}\)(cos(-\(\frac{\pi}{6}\))+isin(-\(\frac{\pi}{6}\)))

z=cos\(\frac{\pi}{12}\)+isin\(\frac{\pi}{12}\)

forme algébrique de z --> z= \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)+i\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

Donc cos\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
sin\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Très bien.

Dans la troisième question, tu vas pouvoir utiliser les valeurs que tu viens de calculer, puis les formules d'addition.

Bon courage.

sos-math

[Solène]

3) L'équation a une seule solution x=\(\frac{-\pi}{4}\)

Merci de votre aide !

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

\(-\frac{\pi}{4}\) est une solution, mais il y en a une autre sur l'intervalle considéré.

Quelle équation as-tu obtenu après application d'une formule d'addition ?

A bientôt.

sos-math

[Solène]

J'obtiens cos (\(\frac{\pi}{12}\)-x)= \(\frac{1}{2}\)

On pose X=\(\frac{\pi}{12}\)-x

cos X=\(\frac{1}{2}\)
donc X=\(\frac{\pi}{3}\) et X=\(\frac{-\pi}{3}\)

D'où x=\(\frac{-\pi}{4}\) et x=\(\frac{5\pi}{12}\)

Est-ce bien cela ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Bravo.

A bientôt sur sos-math