cercle trigonométrique

[visiteur]

Dans la figure ci-dessous, O est le centre du cerlce trigonométrique C et A un point de ce cercle ; M est un point quelconque de ce cercle et M' le symetrique de M par rapport à la droite (OA).
En utilisant les coordonnées cartésienes des points M et M' ou les coordonnées polaires de ces points, determiner la position du point M qui permet d'obtenir un triangle AMM' d'aire maximum.

Déjà j'ai pensé qu'un triangle d'aire maximale devait être equilatérale, mais je n'en suis pas sure.
Ensuite si un traingle d'aire maximale doit être équilatérale, alors les angles du triangle font chacun 60°. Mais apres ça, je ne sais pas comment faire.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Je n'ai pas la figure mais je vais supposer que A(1;0)
Alors les coordonnées des points M et M' s'écrivent M(cosx, sinx) M'(cos-x, sin-x) soit M'(cosx;-sinx)

L'aire du triangle est Aire=MM'xhauteur/2 or hauteur=1-cosx, donc Aire=sinx . (1-cosx)

Tu peux donc étudier la fonction f(x)= sinx(1-cosx) pour déterminer son maximum.

sosmaths

[visiteur]

Bonsoir,
je trouve comme dérivé cos x - cos²x + sin²x et je n'arrive pas à étudier son signe pour déterminer son maximum

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

Ta dérivée est juste, et le signe de f' est en effet très compliqué (pour un élève du lycée) !
Il faut peut-être utiliser l'ensemble de définition de f, pour encadrer tes cosinus et ton sinus ?
Mais sans l'énoncé complet et sans la figure, c'est difficle de t'aider davantage.

SoSMath.

[visiteur]

Dans la figure ci-dessous, O est le centre du cerlce trigonométrique C et A un point de ce cercle ; M est un point quelconque de ce cercle et M' le symetrique de M par rapport à la droite (OA).
En utilisant les coordonnées cartésienes des points M et M' ou les coordonnées polaires de ces points, determiner la position du point M qui permet d'obtenir un triangle AMM' d'aire maximum.

je vous fait part aussi de la figure .

[fabien]

Bonsoir,
j'ai un petit problème je n'arrive pas à trouver le maximum pourriez vous m'aider s'il vous plait voici l'énoncé et la figure.
Dans la figure ci-dessous, O est le centre du cerlce trigonométrique C et A un point de ce cercle ; M est un point quelconque de ce cercle et M' le symetrique de M par rapport à la droite (OA).
En utilisant les coordonnées cartésienes des points M et M' ou les coordonnées polaires de ces points, determiner la position du point M qui permet d'obtenir un triangle AMM' d'aire maximum.

Téléchargez la figure ici.
figure

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Tu peux écrire que : cosx-cos²x+sin²x= cosx-cos²x+(1-cos²x)=-2cos²x+cosx+1

Or -2X²+X+1=0 apour solution -1/2 et 1
Donc -2X²+X+1=-2(X+1/2)(X-1)

Donc -2cos²x+cosx+1=-2(cosx+1/2)(cosx -1)

je te laisse finir.

sosmaths

[visiteur]

bonjour;
j'ai suivi votre conseil et j'ai etudié son signe pourtant je trouve une fonction qui est decroissante puis croissante sur [-1;1] alors que je dois trouver un maximum.

[visiteur]

J'ai essayé avec les coordonnées cartésiennes et je trouve une fonction qui est rac(1-x²) (-x-1). Donc la dérivée est (-2x²+x+1) / rac(1-x²) et le dénominateur étant positif j'étudie le numérateur. on trouve 2 racine reelles distinctes qui est -1/2 et 1. Pourtant on doit trouver le maximum mais la fonction est decroissante sur -1 ; -1/2 et croissante sur -1/2 ; 1 donc que dois je faire pour trouver le maximum ensuite?
Merci

[fabien]

Bonsoir,
j'ai étudié le signe de -2(cosx +1/2)(cosx -1) et je trouve sur -1;-1/2 la fonction est croissante et sur -1/2 ; 1 la fonction est décroissante donc la fonction admet un maximum pourtant sur ma calculatrice graphique je trouve le contraire donc elle admet un minimum et non un maximum. Est ce que j'ai bon ou non?
Pouvez vous me repondre svp.

[sos-math(13)]

Bonsoir,

Je réponds à ton dernier message... Il faut bien faire le tri.

La fonction est clairement paire car cos(x)=cos(-x) donc la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées interdit d'avoir le sens que tu décris.

Les calculs sont donc à revoir.

Bon courage.

[Visiteur]

Bonsoir,
Je ne ai pas compris comment vous avez fait pour trouver la hauteur
Aidez moi s'il vous plait

[SoS-Math(4)]

Bonjour visiteur, ou Fabien,

J'ai l'impression qu'il ya plusieurs interlocuteurs pour le même problème.

D'autre part je ne comprends pas la question concernant la hauteur.

Résumons nous : Nous devons étudier le signe de la dérivée qui est : f '(x)= -2(cos x +1/2)(cos x-1)

D'après le problème on doit prendre x dans [0;pi]

-2 est négatif.
cosx -1 est négatif ou nul(pour x=0)
cos x +1/2 s'annule pour x=2pi/3 est négatif pour x>2pi/3 et positif pour x<2pi/3.

Ceci te permet de faire le tableau de signes et de voir qu'il y a un maximum pour x=2pi/3.

Quand à la hauteur(je viens de comprendre), si tu appelles H, l'intersection de (MM') avec l'"axe des abscisses, la hauteur h=AH.

Bon courage

[visiteur]

Bonsoir,
Merci d'avoir répondu, ce que je n'avais pas compris été comment vous avez déduis que la hauteur était égale à 1-cosx

[SoS-Math(4)]

Ok, il y a pas de quoi

sosmaths