Question

[Martin]

Bonjour, est ce que toute suite monotone est à la fois décroissante et croissante ? merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Une suite monotone est une suite qui a un unique sens de variation sur \(\mathbb{N}\) : elle est ou bien décroissante ou bien croissante sur \(\mathbb{N}\).
Bonne continuation

[Martin]

Merci pour la réponse, donc la suite u(n) = 5, est elle décroissante ou croissante par exemple ? merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Dans ce cas particulier, c’est une suite constante.
Bonne continuation

[Martin]

Ok merci mais en fait je vous pose cette question par rapport à la question 1 de l'exercice 4 de : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Spe_Asie_J ... 024_DV.pdf
Ils disent dans le corrigé que "La suite constante égale à 1 est décroissante et minorée par 0 (entre autres), et pourtant, elle converge vers 1, et pas vers 0."
C'est pour ca que je vous demande ca...

[sos-math(21)]

Bonjour,
Selon la définition (large ou stricte), on peut considérer qu’une suite constante est un cas particulier de suite décroissante car elle vérifie pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}\leqslant u_n\) (définition d’une suite décroissante).
Bonne continuation

[Martin]

Ok merci beaucoup j'ai compris
et juste pour la derniere question du dernier exercice, je n'ai pas compris comment il transforme v(n+1) - v(n) avec la linéarité de l'intégrale...

[sos-math(21)]

Bonjour,
La linéarité de l'intégrale stipule que l'on peut "partager" l'intervalle d'intégration en plusieurs sous intervalles.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\) alors pour tout réel \(c\in]a\,;\,b[\) \(\displaystyle\int_a^b f(x)\text{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\text{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\text{d}x\)
Ainsi \(\displaystyle v_{n+1}-v_n=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x-\int_{1}^{n}\ln(x)\text{d}x=\int_{1}^{n+1}\ln(x)\text{d}x+\int_{n}^{1}\ln(x)\text{d}x=\int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x\) (relation de Chasles)
Comme \(ln(x)>0\) sur l'intervalle \([n\,;\,n+1]\), alors par positivité de l'intégrale, on a \(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\ln(x)\text{d}x\geqslant 0\).
La différence \(v_{n+1}-v_n\) est donc positive ce qui prouve que la suite est croissante.
Bonne continuation

[Martin]

Bonjour, merci mais je ne comprends pas pourquoi vous "inversez" les bornes pour transformer le + en -, et je ne comprends pas non plus le résultat final, désolé...

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Le collègue utilise le fait que - \(\int_a^{b}f(x)dx\) = + \(\int_b^{a}f(x)dx\), avec les bornes a = 1 et b = n.

Ce qui permet ensuite d'utiliser la relation de Chasles pour \(\int_n^{1}lnxdx\) + \(\int_1^{n+1}lnxdx\) pour obtenir \(\int_n^{n + 1}lnxdx\).

Est ce désormais plus clair pour toi?

Sos math.