nombre complexe

[Jean]

boujour j'ai un exercice où je ne comprends pas la dernière question.
on considère le polynôme P de la variable complexe défini par P(Z)=Z⁴+Z³-Z-1
1) montre P(Z) se met sous la forme P(Z)=(Z-1)Q(Z) où Q(Z) est un polynôme à déterminer
2) écrit Q(Z) sous la forme Q(Z)=(Z+1)R(Z)
où R(Z) est un polynôme à déterminer
3) résous dans l'ensemble C l'équation P(Z)=0
4) la solution de la partie imaginaire strictement positif. calculer( alpha)²(alpha)³(alpha)⁴(alpha)⁵(alpha)⁶ puis calculer (alpha)²⁰⁰⁴
réponse
1) pour cette question comme P(-1)=0 alors P(
Z)=(Z-1)Q(Z) avec Q(Z) un polynôme de degrés 3 tel que Q(Z)=aZ³+bZ²+CZ+d en développant et en utilisant la méthode par identification je trouve Q(Z)=Z³+1
2) j'ai appliqué la même démarche dans la question précédente et j'ai trouvé R(Z)=Z²-Z+1
3) pour la question 3 on P(Z)=(Z-1)(Z+1)(Z²-Z+1)=0 donc les solutions sont {-1;1;1/2+√(3)i/2;1/2-√(3)i/2}
c'est au niveau de la dernière question que je n'arrive pas à comprendre.

[SoS-Math(35)]

Bonjour jean,

En premier lieu, je ne suis pas d'accord avec ta détermination de Q(Z). Il te faut reprendre tes calculs.
De fait, la détermination de R(Z) n'est pas la bonne et donc les racines sont fausses également.

Nous restons à ta disposition pour la correction.

Sos math.

[SoS-Math(35)]

Pour la question 4) , une fois que tu auras trouvé la solution dont la partie imaginaire est positive, tu peux essayer de trouver une autre écriture à cette solution ( Tu peux penser au cercle trigonométrique....)

Bon courage,

Sos MAth.