Bonjour,
J'ai un DM sur les polynômes, pouvez-vous vérifier certaines des réponses que j'ai apportées ? En vous remerciant.
1. On souhaite trouver trois nombres \(a,b,c \in \mathbb{R}\) tels que \(a+b+c = 2\), \(ab+bc+ac = -5\), \(abc = -6\)
-Montrer que cela revient à calculer les racines du polynôme \(P\) défini par \(P(X) = X^3-2X^2-5X+6\)
Montrons que \(a,b,c\) sont les racines d'un polynôme \(P\), pour cela on peut considérer l'expression \((X-a)(X-b)(X-c)\) après développement on obtient \((X-a)(X-b)(X-c) = X^3-X^2(b+a+c)+(ac+bc+ab)X-abc = X^3 - 2X^2-5X+6\)
-Grâce au théorème de factorisation, répondre à la question initiale
En premier lieu \(1\) est une racine évidente de \(P\), ensuite il vient par le théorème de factorisation que \(X-2 | P(X)\), en effectuant la division euclidienne de \(P\) par \(X-1\) on obtient \(X^3-2X^2-5X+6= (X-1)(X^2-X-6)\), en calculant les racines de \(X^2-X-6\) on a \(r_{1} = -2\) et \(r_{3} = 3\) (ou toute autre permutation cyclique des racines trouvées), donc \(a=1\), \(b= -2\) et \(c=3\) car ce sont les racines de ce polynôme, réciproquement on vérifie que les valeurs trouvées conviennent.
2. Déterminer la forme factorisée de \(P(X) = 2X^3-7X^2+2X+3\), c'est à dire \(P = a(X- \alpha)(X - \beta)(X - \gamma)\)
-En premier lieu \(3\) est une racine évidente de \(P\) et son terme égal à son degré est \(a = 2\), on peut écrire d'après le théorème de factorisation \(P(X) = 2(X - 3)(X - \beta)(X - \gamma)\) en développant on trouve \(P(X) = 2X^3-X^2(2\gamma+2\beta+6) + (2\gamma \beta + 6\gamma +6\beta)X-6\gamma \beta\) ce qui donne encore
\(
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta + 6 &= 7 \\
2\gamma\beta + 6\gamma + 6\beta &= 2 \\
-6\gamma\beta &= 3
\end{eqnarray}\right.
\)
\(
\iff
\left\{\begin{eqnarray}
2\gamma + 2\beta &= 1 \\
6\gamma + 6\beta = 3
\end{eqnarray}\right.
\)
-On doit donc avoir \(\gamma + \beta = \dfrac{1}{2}\) ce qui donne \(\gamma\beta = \biggl( \dfrac{1}{2} - \beta \biggr)\beta = -\dfrac{1}{2}\) après développement et factorisation on obtient \((\beta - 1)(\beta + \dfrac{1}{2}) = 0\) ainsi soit \(\beta = 1\) soit \(\beta = \dfrac{-1}{2}\) de même pour \(\gamma\), on peut donc supposer sans perdre en généralité que \(\gamma = -\dfrac{1}{2}\) et \(\beta = 1\), donc le polynôme s'écrit finalement \(P(X) = 2(X-3)(X-1)(X + \dfrac{1}{2})\)
DM
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Re: DM
Bonjour,
tes démarches sont tout à fait valides et tes réponses me semblent correctes mais la rédaction peut gagner en rigueur.
Peut-être devras-tu détailler la division euclidienne de \(P\) par \(X-1\) dans la première question.
Dans la deuxième question, la résolution du système sera à rédiger de manière plus rigoureuse car tu mets une équivalence entre deux systèmes qui ne le sont pas (tu dois garder l'équation \(-6\gamma\beta=3\) sinon, il te reste deux équations équivalentes donc une infinité de solutions).
Je te laisse le soin de reprendre la présentation, mais, mathématiquement, c'est du très bon travail.
Bonne continuation
tes démarches sont tout à fait valides et tes réponses me semblent correctes mais la rédaction peut gagner en rigueur.
Peut-être devras-tu détailler la division euclidienne de \(P\) par \(X-1\) dans la première question.
Dans la deuxième question, la résolution du système sera à rédiger de manière plus rigoureuse car tu mets une équivalence entre deux systèmes qui ne le sont pas (tu dois garder l'équation \(-6\gamma\beta=3\) sinon, il te reste deux équations équivalentes donc une infinité de solutions).
Je te laisse le soin de reprendre la présentation, mais, mathématiquement, c'est du très bon travail.
Bonne continuation