Nombres premiers

[Lola]

Bonsoir à tous !
J'ai un devoir en Maths expertes où je bloque totalement... Pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:
Soit $A(n)= n^8+n^4+1$ , où n est un entier naturel.
On souhaite écrire $A(n)$ comme produit de deux nombres toujours premiers entre eux.

1) Vérifier que $A(n)= (n^4+n^2+1)(n^4-n^2+1)$
2) Justifier que pour tout naturel n, les nombres $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$ sont impairs
3) Prouver que si d est un diviseur commun à $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$, alors d divise $2n^2$ et $2n^4 +2$
4) Montrer que $n^4+1$ et $n^2$ sont premiers entre eux
5) En déduire la valeur de $PGCD (2n^2,2n^4+2)$
6) Déduire des questions précédentes que $n^4+n^2+1$ et
$n^4-n^2+1$ sont premiers entre eux


Pour la 1) :
$A(n)= (n^4+n^2+1)(n^4-n^2+1)$
= $n^8-n^6+n^4+n^6-n^4+n^2+n^4-n^2+1$
=$n^8+n^4+1$

Je ne sais pas comment faire pour la 2... Dois-je faire avec 2k et 2k+1 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la question 2),
si tu écris $n^4+n^2+1=n^2(n^2+1)+1$, alors le nombre $n^2(n^2+1)$ est un produit de deux entiers consécutifs donc un des facteurs est pair et l'autre est impair ; ainsi leur produit est pair car il contient le facteur 2 venant du facteur pair.
Ce sera la même chose avec $n^4-n^2+1=n^2(n^2-1)+1$.
Bonne continuation

[Lola]

D'accord merci ! Si j'ai compris c'est grâce au facteur 2 du $n^2$ que le produit est pair ? Et le +1 ne joue pas ?
Pour la 3) j'ai réussi une partie je pense:
$d|n^4+n^2+1$ et $d|n^4-n^2+1$. d divise donc une combinaison linéaire de $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$
Donc: $d|(n^4+n^2+1)-(n^4-n^2+1)$
$d|n^4+n^2+1-n^4+n^2-1$
$d|2n^2$
Comment dois-je procéder pour $2n^4+2$ ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
le facteur 2 vient de $n^2$ ou $n^2+1$ : on ne sait pas lequel des deux est pair mais on est sûr que l'un des deux est pair car ce sont deux entiers consécutifs. Même chose pour $n^2-1$ et $n^2$.
Pour la 3) tu procèdes de la même manière mais en faisant la somme : si $d$ est un diviseur commun à $n^4+n^2+1$ et à $n^4-n^2+1$ alors il divise leur somme : $d\mid (n^4+n^2+1+n^4-n^2+1)$ donc $d\mid 2n^4+2$.
Bonne continuation

[Lola]

Ah oui effectivement fallait juste faire la somme... Merci !
Pour la 4), j'ai fait:
D'après le théorème de Bézout, deux nombres a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que : $au+bv=1$
Ici, $a= n^4+1$ et $b=n^2$
Le but est de trouver deux entiers u et v tels que: $u(n^4+1)+v(n^2)=1$
Donc, par combinaison linéaire: $(n^4+1)-n^2*n^2 = n^4+1-n^4 = 1$
On en conclut, d'après le théorème de Bézout, que $n^4+1$ et $n^2$ sont premiers entre eux.

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu connais l'identité de Bézout, c'est une bonne démarche.
Sinon, tu peux partir, comme dans une question précédente, d'un entier $d$ diviseur commun à $n^2$ et $n^4+1$.
Si $d\mid n^2$, alors il divise aussi $n^2\times n^2=n^4$ : en effet si $d\mid n^2$, il existe un entier $k$ tel que $n^2=kd$ ; en élevant au carré on a $n^4=k^2d^2=d\times (dk^2)$ donc $d\mid n^4$.
Donc il divise la différence entre $n^4+1$ et $n^4$, c'est-à-dire 1, donc $d=1$.
Bonne conclusion

[Lola]

Pour la 5) :
On sait que $d|2n^2$ et $d|2n^4+2$
d divise donc une combinaison linéaire de $2n^2$ et $2n^4+2$
Ce qui donne : $d|(2n^4+2)-n^2*2n^2$
<=> $d|2n^4+2-2n^4$
<=> $d|2$
On en déduit que soit $d=1$ ou $d=2$
Or on a prouvé dans les questions précédentes que $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$ sont impairs, donc par combinaison linéaire $2n^2$ et $2n^4+2$ le sont également. 2 est donc exclu et $PGCD=1$.

[sos-math(21)]

Bonjour Lola,
c'est la bonne démarche.
En fait un diviseur commun $d$ à $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$ est un diviseur commun à $2n^2$ et $2n^4+2$ (question 2).
Or on a montré que le pgcd de ces deux nombres était égal à 2 (question 5).
Donc le pgcd de $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$ divise 2. Comme ces deux nombres sont impairs, le pgcd de $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$ ne peut pas être égal à 2 donc le pgcd de $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$ est égal à 1, ce qui signifie que $n^4+n^2+1$ et $n^4-n^2+1$ sont premiers entre eux
Bonne continuation.

[Lola]

Merci pour votre explication !
Pour la 6) je ne voyais pas trop comment argumenter. Du coup je justifie avec ce que vous avez dit ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux reprendre mon explication, je pense que cela devrait suffire.
Bonne conclusion

[Lola]

Merci beaucoup !

[sos-math(21)]

Bonjour,
je pense qu'on a fait le tour de l'exercice donc je verrouille le sujet.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math