Somme de factorielles

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noha

Somme de factorielles

Message par noha » mar. 15 sept. 2020 18:11

Bonjour,
j'ai un devoir maison dans lequel on a une somme de factorielles : S= 1! + 2! +3! +... +2020!
La 1ère question est d'écrire S en utilisant le symbole somme ∑ .
Je n'y arrive pas du tout car notre professeur ne nous a pas vraiment expliqué comment se servir de ce symbole. J'ai cherché sur internet mais c'était à chaque fois pour des cas spécifiques ou bien je ne comprenais pas l'explication. Est ce que vous pourriez m'expliquer ?

Merci!
noha
SoS-Math(34)
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Re: Somme de factorielles

Message par SoS-Math(34) » mar. 15 sept. 2020 18:49

Bonsoir Noha,

Je te donne un exemple. Quand tu calcules 1 + 2 + 3 + ... + 100, c'est à dire la somme des 100 premiers entiers naturels non nuls, tu utilises des pointillés pour sous entendre qu'il faut tenir compte aussi de tous les entiers qui ne sont pas écrits (de 4 à 99 donc).
Il existe une notation rigoureuse qui évite d'utiliser les pointillés :
\(\sum_{k=1}^{100}k\)
Le symbole sigma \(\sum\) signifie somme. Dans l'écriture précédente, tu calcules donc la somme de tous les entiers k qui sont compris entre 1 (inclus) et 100 (inclus).
De même, par exemple : \(\sum_{k=2}^{5}k² \) = 2² + 3² + 4² + 5² = 4 + 9 + 16 + 25 = 54.
J'espère avoir répondu à ta question.

Bonne recherche et bonne continuation,
Sosmaths
SoS-Math(34)
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Re: Somme de factorielles

Message par SoS-Math(34) » mar. 15 sept. 2020 18:50

PS : tu peux regarder cette vidéo pour avoir d'autres exemples et des explications de vive voix
https://www.youtube.com/watch?v=0zspJuzo7L8
SoS-Math(7)
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Re: Somme de factorielles

Message par SoS-Math(7) » mar. 15 sept. 2020 18:55

Bonjour Noha

Le symbole \(\sum\) permet d'écrire une somme sans passer par l'énumération des premiers et derniers termes. Pas simple à expliquer à l'écrit mais je vais essayer à partir d'exemples...
1+3+5+7+9+...+57+59 ici tu dois repérer que l'on a la somme des nombres impairs de 1 jusqu'à 59. Ce repérage est très important car c'est lui qui a toutes les informations dont on va avoir besoin pour écrire cette somme avec notre symbole.
  • pour commencer, il faut parvenir à écrire un nombre impair de "façon générale". Tu dois savoir qu'un nombre impair s'écrit \(2k+1\)
  • Ensuite, il faut identifier la valeur de "\(k\)" pour écrire le premier nombre de notre somme. Ici \(1=2 \times 0 +1\), le deuxième nombre de notre somme est \(3=2\times 1+1\) et ainsi de suite pour les valeurs successives de \(k\).
  • Il ne nous reste plus qu'à identifier la "dernière" valeur de \(k\) pour écrire le dernier nombre de notre somme. Ici c'est \(59=2\times 29+1\)
On va à présent écrire le tout sous "forme symbolique". Le \(k\) nécessaire pour écrire de façon générale un nombre impair va s'écrire dans la partie basse du symbole \(\sum\) avec sa première valeur pour commencer notre somme (c'est comme un compteur dans une boucle dans un algorithme). Le symbole somme signifie que l'on va ajouter tous les nombres obtenus pour les valeurs successives de \(k\) jusqu'à arriver à sa dernière valeur (valeur d'arrêt) qui sera écrite sur la partie haute du symbole \(\sum\).

Finalement dans mon exemple, cela donne \(1+3+5+7+...+57+59=\displaystyle\sum_{k=0}^{28} 2k+1\)

Autre exemple : 5+6+7+...+45 est la somme des nombres entiers de 5 à 45. On écrit alors \(5+6+7+..+45=\displaystyle\sum_{k=5}^{45} k\)

Bon courage.
Noha

Re: Somme de factorielles

Message par Noha » mar. 15 sept. 2020 21:44

Bonsoir, et désolée pour la réponse tardive!
Merci beaucoup pour vos explications à tous les deux. Les exemples m'ont aidée. Je pense que j'ai compris la notation.
Si c'est ce que je pense, alors il me semble que ma réponse devrait ressembler à :
(En haut du signe) 2020
(En bas du signe) k=1
(A droite) k!

Je suis contente car je désespérais de trouver comment ça marchait haha

Bonne soirée et bonne nuit
sos-math(21)
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Re: Somme de factorielles

Message par sos-math(21) » mar. 15 sept. 2020 21:46

Bonjour,
ta réponse semble correcte : le compteur \(k\) parcourt bien les entiers naturels de 1 à 2020 et on fait la somme des factorielles de ce compteur donc c'est bien \(k!\).
Bonne continuation
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