question arithmétique

[Yessine]

Bonjour,
Ex:

dans la correction de question 3)c) je ne comprends pas ces deux étapes :

pouvez vous m'aider?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
à la question précédente, on te demande d'étudier le reste de \(4^p\) modulo 14 en fonction de \(p\).
Si tu regardes les restes modulo \(14\) des puissances de 4, tu vois qu'à partir de p=1, les restes font des suites 4,2,8,4,2,8...
Cela dépend donc de l'exposant et de son reste modulo 3. Il faudrait alors le prouver, mais tu peux établir que lorsque l'exposant est congru à 1 modulo 3 alors \(4^p\equiv 4\,[14]\) donc en appliquant cette propriété à \(4^{100}\) tu as \(100\equiv 1 \,[3]\) donc \(4^{100}\equiv 4\, [14]\)
Une fois que tu as établi que \(10^{100}\equiv 3\,[13]\) et \(10^{100}\equiv 4 \,[14]\).
Pour la deuxième étape les congruences de \(10^{100}\) modulo 13 et 14 te permettent de dire qu'il existe deux entiers \(k\) et \(k'\) tels que :

• (1) : \(10^{100}=13k+3\)
• (2) : \(10^{100}=14k'+4)\)

Si tu fais \(14\times (1)-13\times (2)\), cela te donne \(14\times 10^{100}-13\times 10^{100}=14\times (13k+3)-13\times(14k'+4\).
Le membre de gauche est égal à \(10^{100}\) et le membre de droite est égal à \(182(k-k')-10\) on a donc \(10^{100}=182(k-k')-10\) ce qui prouve bien la congruence à \(-10\) modulo \(182\).
Bonne continuation