SOS-MATH

Bonjour,
Voici mon exercice :

Soit f une fonction polynôme du second degré de la forme f : x --> ax²+bx+c, où a,b, et c sont trois nombres réels et a est différent de zéro.

1. Supposons que a = 2 : b=5 ; et c = -4. Montrer que pour tout nombre x et y appartenant à IR, on a f(y) - f(x) = (y-x)[2(y+x)+5]. En déduire que f est décroissante sur ]- l'infini; -5/4] et croissante sur [-5/4; + infini[. Réaliser alors le tableau de variation de f.

J'ai deux autres questions, mais j'aimerais déjà comprendre comment définir que f est décroissante sur l'intervalle donnée puis croissante sur l'autre intervalle.

Pour montrer que f(y)-f(x) =(y-x)[2(y+x)+5] , j'ai développé " (y-x)[2(y+x)+5] " , je trouve :
= 2y² + 2xy + 5y -2yx -2x² -5x

Est ce que je peux dire que " 2y² + 2xy + 5y " = f(y) et que "-2x² - 2yx - 5x " = f(x) ?

Bonjour Emma,

Il ne faut pas développer, il faut au contraire diviser les 2 côtés de l'égalité par y-x.
On obtient alors la valeur de f(y)-f(x)/y-x qui est le taux de variation de la fonction f. Etudie le signe de ce taux de variation.
S'il est positif pour tout x et y appartenant à un intervalle I, alors la fct est croissante sur I. Si le taux de variation est négatif pour tout x et tout y appartenant à I, alors f est décroissante sur I.

sosmaths

bonjour,
Une fois que l'on a divisé, que l'on arrive a
f(y)-f(x)/(y-x) = (2y+x)+5
Comment pouvons nous arriver à trouver le -5/4 ? J'ai compris que -5/4 = -b/2a, mais il faut que je le démontre pour y arriver. Je ne comprend pas comment on peut faire.

Bonjour,
on a \(f(x)=2x^2+5x-4\) et \(f(y)=2y^2+5y-4\) donc \(f(y)-f(x)=2(y^2-x^2)+5(y-x)\) on reconnait une identité remarquable donc en factorisant on a :
\(f(y)-f(x)=2(y+x)(x+y)+5(y-x)=(y-x)\left[2(y+x)+5\right]\) soit en divisant par (y-x) qui est en facteur, on a \(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=2(y+x)+5\)
On se place alors dans le cas y>x : car pour étudier la croissance on doit d'abord considérer un ordre sur x et y et voir si l'ordre est respecté (f sera croissante) ou inversé (ou inversé) :
On cherche d'abord l'intervalle où \(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}>0\), cela signifie que l'on va chercher pour quels x et y, on va avoir \(2(y+x)+5>0\) soit \(y+x>\frac{-5}{2}\)
donc si on prend y>x, alors \(2y>x+y>\frac{-5}{2}\) donc \(y>\frac{-5}{4}\) d'où le \(\frac{-5}{4}\)
Il faudrait ensuite repartir de \(x,y\in\left[\frac{-5}{4}\,;\,+\infty\right[\), on a alors en prenant x>y, \(2(y+x)+5>0\).
Je te laisse mettre en forme la démonstration....

Merci

Bon courage pour la suite,
à bientôt sur sos-maths