SOS-MATH

Bonjour,
j'aurai besoin de votre aide pour un exercice.

Nous avons une fonction f(x)= 1/(5+cos(x)).
D'après moi le domaine de définition est tout les réels car le dénominateur ne peut pas s'annuler comme les cosinus sont compris entre 0 et 1.

La question demande de démontrer que la fonction est périodique de période 2 pi (je ne trouve pas le signe, excusez moi).

Dans le cours nous avons dit qu'une fonction est périodique si et seulement si f(x)=f(x+T) avec T = la période.

J'ai essayé avec un chiffre, 1 et effectivement f(1)=f(1+2pi) mais cela ne me permet pas de démontrer, il faudrait que je fasse avec x mais je n'y arrive pas.

De plus sur ma calculette lorsque je réprésente la fonction j'obtiens une constante mais j'ai sans doute mal écrit la fonction ou alors ma calculette est mal programmée ou trop vieille pour afficher cette courbe.

Si vous pouviez me donner un indice...

Merci d'avance!
Au revoir.

Bonsoir Lauriane,

Tu as bien avancé. Ton domaine de définition est juste mais attention, \(cosx\in~[-1;1]\).
Pour démontrer que \(f\) est périodique de période \(2\pi\), écris \(f(x+2\pi)=\frac{1}{5+cox(x+2\pi)}\) et utilise les propriétés du cosinus vues en cours... Je te laisse finir.

Bonne continuation.

Merci beaucoup, je crois avoir trouvé.

Comme on sait que cos(x+2pi)=cos(x) il suffit de faire f(x+2pi)=1/(5+cos(x+2pi))=1/(5+cos(x))=f(x).

Mais il y a une deuxième question qui concerne le sens de variation de la fonction (il faut étudier le sens de variation de la fonction sur [-pi;pi].

Seulement si je me souviens pour trouver le sens de variation d'une fonction il faut tout d'abord trouver le signe de la dérivé mais je connais pas la dérivé d'une fonction cosinus...

Dans un premier temps comme on sait que cos(x) appartient à [-1;1] on sait que c'est toujours positif.

En connaissant les max et min de cos(x) on peut calculer pour ces deux valeurs, cos(pi)=-1 donc f(pi)=1/4; cos(environ 0.54)=1 donc f(environ 0.54)=1/6 ce qui d'après moi nous dit que la fonction est croissante mais je ne pense pas que cela suffit...

De plus à cause de ma calculatrice je ne sais pas qu'elle forme à ma courbe car comme je vous l'ai dit elle me donne une constante...

Ou alors est-ce que je dois me représenter un cercle? comme on doit l'étudier sur [-pi;pi]?

Merci encore!!!

Bonsoir,

Pour déterminer le sens de variation de cette fonction, il faut effectivement calculer sa dérivée et déterminer le signe de cette dérivée.
Pour le calcul de cette dérivée tu dois savoir que \((\frac{1}{u})^{,}=\frac{-u^{,}}{u^2}\) et \((cos(x))^{,}=-sin(x)\).

Je te laisse continuer : déterminer cette dérivée, déduire son signe et conclure sur le sens de variation de \(f\).

Bonne continuation.

Bonjour,

Je travaille sur le même exercice que Lauriane.

Pour la dernière question je ne suis pas certaine de moi. En suivant les conseils donnés, je trouve la dérivé = -1/-sin(x) donc 1/sin(x) J'en déduis que la dérivé est positive et donc que la fonction f est croissante sur l'intervalle [-pi;pi].
Mais je ne pense pas que cela soit suffisant dans ma justification. De plus, on fait habituellement une tableau de signe. Pour moi, je ne le trouve pas nécessaire dans ce cas mais je dois me tromper !

Merci d'avance

Bonjour,

la dérivée ne peut pas être celle que tu donnes, puisque la formule a un u² au dénominateur, donc un (5+cos(x))² au dénominateur.

Reprends ton calcul en appliquant avec soin les formules.

Bon courage.

Merci beaucoup

Je trouve donc comme dérivé : -1/(5+cos(x))². Je peux faire un tableau de variation . J'ai essayé de développer le dénominateur mais je ne suis pas sûre que cela me soit utile pour la suite.
Je vois que -1 est toujours négatif et (5+cos(x))² est positif puisqu'un carré est toujours positif. Donc la fonction est décroissante. Mais j'ai 2 problèmes : sur ma calculatrice , la fonction est constante.J'ai donc soit une erreur dans mon calcul ou j'ai mal programmé ma calculatrice.
De plus, je ne vois pas comment trouver les racines dans mon tableau puisque delta ici ne doit pas être une solution. Faut-il vraiment les trouver puisqu'on nous demande le sens de variation ???

merci d'avance

Bonjour,

merci beaucoup pour la formule de dérivé du cosinus.

je trouve cette dérivé : -sin(x)/(5+cos(x))²

le signe de -sin(x) est toujours - et =0 pour x=0
le signe de (5+cos(x))² est toujours positif et jamais =0

donc le signe de la dérivé est toujours - et =0 pour x=0

par conséquent la fonction est toujours décroissante.

est-ce juste?

merci encore!

Bonjour Lauriane,

Tu as commis une erreur dans le calcul de la dérivée (attention aux signes "-") : \((\frac{1}{u})^{,}=\frac{-u^{,}}{u^2}\) et \((cos(x))^{,}=-sin(x)\).

De plus, sin(x) change de signe sur \([-\pi ; \pi]\) donc cette fonction ne sera pas monotone.

Bonne correction.

Bonjour Chloé,

Reprends le message d'avant et corrige ta dérivée. Tu as l'impression que cette fonction est constante sur ta calculatrice car l'échelle sur l'axe des ordonnée doit être trop grande. Les valeurs de f sont comprises entre 0,1 et 0,3.
Ici, on ne te demande pas de racines !

Bonne correction.

Bonjour,

Voici donc ma nouvelle dérivée : sin(x)/(5+cos(x))²
Sin(x) est toujours positif
(5+cos(x))² est toujours positif.

Donc la dérivé est de signe + donc la fonction toujours croissante.

Je ne comprends pas pourquoi sin(x) change de signe sur [-pi;pi] ni pourquoi sin(x) est le numérateur dans la dérivée. (désolée ! )

Merci d'avance

Bonjour,

tu ne peux pas dire que sin est positive sur [-pi:pi].

Donc le numérateur n'est pas positif, en tout cas pas tout le temps, et donc f n'est pas que croissante.

La représentation graphique de sin donne :
Sinon, le numérateur de la dérivée est sin(x) car en appliquant la formule donnée par mon collègue, en posant u(x)=5+cos(x), tu trouves u'(x)=-sin(x), et comme il y a un - dans la formule de dérivée, tu retombes sur +sin(x).

Merci beaucoup,

J'ai compris et bien pris note !!!

à bientôt.

Bonjour,

sin(x)=0 pour x=0 et x=pi alors non?
et en fait sin(x) est + pour x[0;pi] mais - pour x [pi;2pi]

donc la fonction est d'abord décroissante, puis croissante et encore une fois décroissante??

merci encore pour toutes vos explications!!!
au revoir!