Les suites arithmétiques

[eleve19]

Bonjour,
Dans un exercice je rencontre un problème j'ai deux suites : Un+1=(2Un)/(2+3Un)
et Vn=1/Un avec n différent de 0
Je dois montrer que la suite est arithmétique de deux façons, je l'ai fait en calculant Vn, et j'ai montré que c'est de la forme Vn=V0+nr
Mais je dois aussi le montrer en utilisant Un+1 et Un et Vn+1 et Vn, comment faire?
D'autre part il faut étudier la monotonie de la suite Un, donc il faut que je calcule Un+1-Un, non? Et je devrais trouver Un compris entre 0 et 1...
Merci

L

[sos-math(22)]

Bonsoir, Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question, car ton énoncé n'est certainement pas complet. Je ne vois pas comment tu as pu calculer directement \(v_n\) en fonction de \(n\), à moins de connaître l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), ce qui n'est pas indiqué... Cependant, je te donne une indication concernant la seconde méthode. Tu peux commencer ainsi : \(v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2+3u_n}{2u_n}=\frac{2}{2u_n}+\frac{3u_n}{2u_n}=\frac{1}{u_n}+\frac{3}{2}=v_n+\frac{3}{2}\). Tu montres ainsi que la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r=\frac{3}{2}\). Ensuite, pour continuer, il te faut connaître la valeur de \(v_0\) qui manque également dans l'énoncé. Bonne continuation.

[eleve19]

Bonjour,
Merci de m'avoir aide
Je ne pense que l'énoncé soit incomplet, à vrai dire , l'exercice est en deux parties et j'ai réussi à faire la première partie, c'est donc sur cette deuxième partie que j'ai du mal.
Ma première méthode fonctionne, j'ai fait la même chose que vous, mais j'ai cherche Vn=1/Un
Et j'ai trouve : Un-1+3/2 Donc il s'agit d'une fontion arithmetique de raison 3/2 et de premier terme V0 = 1/U0 et comme je sais que U0 vaut 1, je trouve V0=1/1=1

Par la suite, on a Vn=V0+nr
Et Vn =1+1,5n et Donc Un = 1/(1+1,5n)
Comment etudier la monotone de la fonction, je n'arrive pas a trouver a partir de quelle valeur la suite est croissante.

[sos-math(22)]

Bonjour,

Si, si, ton énoncé était bien incomplet, car il n'était pas mentionné que \(u_0=1\)...

Pour l'étude de la monotonie de \((u_n)\), on peut utiliser plusieurs méthodes ici.

Dans la mesure où tu connais l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), il te suffir d'étudier les variations de la fonction f définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=\frac{1}{1+1,5x}\).

Pour cela, tu disposes des techniques habituelles (dérivée, etc.)

Bonne continuation.