Probabilités : loi Binomiale

[Julie]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire pour la rentrée des vacances qui est le suivant :


Dans une entreprise qui fabrique des cartes à puces, chaque puces peut présenter deux défauts, le défaut a avec une probabilité de 0,03 et le défaut b avec une probabilité de 0,02.

1.a) Quelle est la probabilité qu'une puce prélevée au hasard dans le stock ne présente aucun défaut ?
1.b) Quelle est la probabilité qu'une puce prélevée au hasard dans le stock ne présente qu'un seul défaut ?

On prélève un lot de 100 puces, le stock étant très important on peut assimiler ce prélèvement à un tirage sans remise. On considère la variable aléatoire X, qui à chaque lot de 100 puces associe le nombre de puces défectueuse.

2.a) Montrer que X suit la loi Binomiale dont on déterminera les paramètres.
2.b) Si la probabilité d'avoir 5% de puces défectueuses dans un lot de 100 est supérieure à 0,15 alors la machine de production doit être révisée. Doit-on réviser la machine ?



Je me demande si il est possible qu'une pièce possède a la fois le défaut b et le défaut a ? Ce qui me bloque dès la première question de l'exercice.
Voici néanmoins ce que j'ai déjà effectué plus ou moins :

1.a) Soit P(d barre) la probabilité d'obtenir une carte à puce ne présentant aucun défauts : P(d barre) = 1-(0,03+0,02+0,03+0,02) = 0,9
1.b) Soit P(d) la probabilité d'obtenir une carte présentant un seul défaut : P(d) = 1-0,9 = 0,1

2.a) - On a 2 issues contraires. On prélève une pièce défectueuse ou non. P(d barre) = 0,9 et P(d) = 0,1
- On prélève plusieurs fois un lot de 100 cartes à puces : on a donc...? répétitions identiques.
- On compte le nombre de puces défectueuses dans un lot de 100 puces, donc X suit la loi Binomiale B(...? ; 0,1)

2.b) P(X=5) = (...? ; 5) x 0,1^5 x 0,9^...? = ...?



En vous remerciant par avance

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Julie,

La présence du défaut a sur une pièce est-elle indépendante de celle du défaut b ?
Si oui fais un tableau pour obtenir la répartition, complète le tableau que je t'ai joint.

Pour la loi binomiale je suis OK, tu vas trouver p à la première question et N = 100 puisqu'on prélève 100 puces.

Bonne continuation

[Julie]

Merci beaucoup, mais n'y a t-il pas une erreur dans le tableau ? Pour le total de la première colonne je trouve 0,0306 et pour le total de la première ligne, je trouve 0,0206.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lucie,

Comment trouves-tu pour la 1ère colonne 0,0306 ?
Dans le tableau pour 1ère colonne tu as 0,0006 + ... = 0,03 et il faut compléter les pointillés !

SoSMath.

[Julie]

Le défaut a sans le défaut b, si l'on suit la logique des colonnes = 0,03 d'où 0,0006+0,03 = 0,0306

[SoS-Math(9)]

Non Julie !

De quelle logique parles-tu ?
Pour la 1ère colonne tu as P(puces ayant le défaut A et B) + P(puces ayant le défaut A et pas le B) = P(puces ayant le défaut A)
d'où l'équation : 0,0006 + P(puces ayant le défaut A et pas le B) = 0,03 soit P(puces ayant le défaut A et pas le B) = ....

SoSMath.

[Julie]

J'ai compris l'équation, le résultat c'est 0,0294. Mais pourtant dans l'énoncé le défaut a tout seul (donc sans le défaut b) a une probabilité de 0,03 ?

[Julie]

Je crois que je viens de comprendre toute seule pourquoi je butte en fait. Est ce parce que dans les 0,03 de probabilité on inclue la possibilité que la puce contienne le défaut a mais aussi b en même temps ?

[SoS-Math(9)]

Julie,

comme tu viens de le remarquer ... dans l'énoncé on dit "la puce ayant le défaut A", on ne dit pas "la puce ayant le défaut A tout seul" !

SoSMath.

[Julie]

Oui, merci beaucoup. Donc le tableau une fois complété est le suivant :

défaut a pas a total
défaut b 0,006 0,0194 0,02
pas b 0,0294 0,9506 0,98
total 0,03 0,97

Donc, pour répondre à ma première question, la probabilité qu'une puce ne présente aucun défaut est de 0,9506. Est ce juste ?

[SoS-Math(9)]

C'est juste Julie.

SoSMath.

[Julie]

Pour la question 2b) la réponse est alors 0,0294 + 0,0194 = 0,0488
2a) La loi Binomiale suit les paramètres B(100 ; 0,0488) ?

[SoS-Math(9)]

Julie,

2a) Pourquoi p=0,0488 ?
quelle est la probabilité pour une puce d'avoir un défaut ?

2b) D'où vient ce calcul 0,0294 + 0,0194 ?
Il faut utiliser la loi binomiale poue cette question ...

SoSMath.

[Julie]

La probabilité pour une puce d'avoir un défaut = défaut a pas b + défaut b pas a, non?

[Julie]

La probabilité pour une puce d'avoir un seul défaut = probabilité défaut a pas b + probabilité défaut b pas a ?