Suites
Posté : mar. 20 déc. 2011 18:30
Bonjour,
Je dois faire un exercices sur les suites mais je n'y arrive pas, jai donc besoin d'aide svp.
On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B. Chaque mois 20% de fourmis de la population A passent en B et 30% des fourmis de la population B passent en A. On notera \(u_n\) et \(v_n\) le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les fourmilières A et B.
Le nombre initial de fourmis est \(u_0 = 320\) milliers et \(v_0 = 180\) milliers.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
\(u_{n+1} = \frac{4}{5}u_n + \frac{3}{10}v_n\)
\(v_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + \frac{7}{10}v_n\)
2. On pose \(S_n = u_n + v_n\) et \(t_n = -2u_n + 3v_n\), pour tout entier n.
a) Montrer que la suite \((S_n)\) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
b) Montrer que la suite \((t_n)\) est une suite géométrique dont on donnera les éléments caractéristiques.
3. En déduire une expression de \(u_n\) et de \(v_n\) en fonction de n.
4. A l'aide d'une calculatrice afficher les 30 premières valeurs de la suite \(w_n = (\frac{1}{2})^n\) pour tout entier naturel n puis conjecturer la valeur de \(\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^n\).
5. En déduire \(\lim_{n\to +\infty}u_n\) et \(\lim_{n\to +\infty}v_n\)
Pour la 1 j'ai trouvé les valeurs mais je ne vois pas pourquoi ils mettent \(u_{n+1}\) et \(v_{n+1}\). Pourquoi ce n'est pas \(U_n =...\)\(V_n=...\) ?Et pours la suite je ne vois pas du tout comment on fait. Pouvez-vous m'expliquer svp?
Je dois faire un exercices sur les suites mais je n'y arrive pas, jai donc besoin d'aide svp.
On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B. Chaque mois 20% de fourmis de la population A passent en B et 30% des fourmis de la population B passent en A. On notera \(u_n\) et \(v_n\) le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les fourmilières A et B.
Le nombre initial de fourmis est \(u_0 = 320\) milliers et \(v_0 = 180\) milliers.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
\(u_{n+1} = \frac{4}{5}u_n + \frac{3}{10}v_n\)
\(v_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + \frac{7}{10}v_n\)
2. On pose \(S_n = u_n + v_n\) et \(t_n = -2u_n + 3v_n\), pour tout entier n.
a) Montrer que la suite \((S_n)\) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
b) Montrer que la suite \((t_n)\) est une suite géométrique dont on donnera les éléments caractéristiques.
3. En déduire une expression de \(u_n\) et de \(v_n\) en fonction de n.
4. A l'aide d'une calculatrice afficher les 30 premières valeurs de la suite \(w_n = (\frac{1}{2})^n\) pour tout entier naturel n puis conjecturer la valeur de \(\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^n\).
5. En déduire \(\lim_{n\to +\infty}u_n\) et \(\lim_{n\to +\infty}v_n\)
Pour la 1 j'ai trouvé les valeurs mais je ne vois pas pourquoi ils mettent \(u_{n+1}\) et \(v_{n+1}\). Pourquoi ce n'est pas \(U_n =...\)\(V_n=...\) ?Et pours la suite je ne vois pas du tout comment on fait. Pouvez-vous m'expliquer svp?