SOS-MATH

Bonjour,

f est la fonction définie sur ]-infini ; -2-2 ; +infini[ par \(f(x)=3x+1/x+2\)

1) Vérifier que pour tout nombre réel \(x\), \(x\) différent de -2, \(f(x)= 3-5/x+2\)
La-dessus j'ai tout simplement testé la fonction en remplaçant x par -2 :
\(f(-2)=3-5/-2+2 =3-5/0\) or il est impossible de diviser par 0, donc pour tout réel x, x doit être différent de -2

2) Etudier alors le sens de variation de f
Je sais que f est définie sur ]-infini ; -2-2 ; +infini[ mais je ne sais pas comment étudier le sens de variation...

Pouvez-vous me dire si le 1) est correct, et surtout m'aider pour 2) (en classe nous n'avons pas encore vu la "dérivée" c'est embêtant je crois pour cet exercice).

Bonsoir,

Question 1.
Non, tu ne peux pas calculer l'image de \(-\)\(2\) par \(f\), puisque c'est la valeur interdite.

Tu peux partir du résultat proposé par ton énoncé et vérifier que c'est bien \(f(x)\).

\(3-\frac{5}{x+2}=\frac{3(x+2)-5}{x+2}=...\)

Question 2.
Si tu n'as pas encore vu la dérivée, il faut alors utiliser les définitions : fonction croissante, décroissante sur un intervalle I.

On raisonne par exemple sur l'intervalle \(I=]-\infty ; -2[\).

On considère \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) tels que \(a<b\).

Dans ce cas, \(a+2<b+2<0\).

Puis... à toi de terminer en t'aidant de ce que tu as vu en cours et en utilisant la question 1.

Bonne continuation.

\(3-5/x+2=3(x+2)-5/x+2=3x+6-5/x+2=3x+1/x+2\) cela correspond bien à f(x) ... mais je ne vois très bien en quoi cela explique que -2 est la valeur interdite pourriez-vous m'expliquer brièvement?

Pour le 2) je réfléchit un peu et je poste ma réponse ... :)

Cela n'a rien avoir. Dès le début de l'exercice, tu sais que 2 est la valeur interdite, car c'est la valeur qui annule le dénominateur.

Dire que f est croissante dans un intervalle I, c'est dire que pour tout x dans I, x et f(x) varient dans le même sens (si x augmente, f(x) augmente et si x diminue, f(x) diminue) ici par exemple \(f(-3)=3*(-3)+1/-3+2=8\) et \(f(-10)=3,625\) on remarque que si x diminue (-3 à -10) f(x) diminue donc sur ]-infini ; -2[ la fonction f est croissante ...

es-ce bon pour cet intervalle?

Oui c'est vrai on le sais, je pensais qu'il fallait le démontrer je me suis trompé, donc la réponse au 1) \(3-5/x+2=3(x+2)-5/x+2=3x+6-5/x+2=3x+1/x+2\) est bien correcte :)

La réponse au 1 est bien correcte, à condition d'écrire les parenthèses qui ne sont pas écrites.
Pour le 2), il faut utiliser la "vraie" définition.
Je t'ai déjà beaucoup aidé...
Relis ce que j'ai écrit à ce sujet.
Bonne continuation.

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[ on considère a et b deux réels de cet intervalle tels que a<b.
Dans ce cas, a+2<b+2<0
or on sait que dire que f est croissante dans un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b dans I, f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.On dit qu'une fonction croissante dans un intervalle I conserve l'ordre dans cet intervalle.
dans cet intervalle ]-infini ; -2[ la fonction conserve bien l'ordre, donc elle est croissante...

Maintenant le second intervalle ]-2 ; +infini[ ... j'y réfléchit et je poste :)

Je t'aide davantage, car je crains que tu n'y arrives pas tout seul...

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[, on considère \(a\) et \(b\) deux réels de cet intervalle tels que \(a<b\).

Dans ce cas, \(a+2<b+2<0\).

Or, on sait que la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[, c'est à dire que pour tout réel a et tout réel b dans ]-oo ; 0[, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et de b.

Par conséquent, \(\frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2}\). (Fais attention ici à ne pas confondre les a et b en rouge et les autres... je te conseille d'utiliser d'autres lettres pour le texte général en rouge)

Puis...

Bonne continuation.

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[, on considère a et b deux réels de cet intervalle tels que a<b.

Dans ce cas, a+2<b+2<0.

Or, on sait que la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[, c'est à dire que pour tout réel a et tout réel b dans ]-oo ; 0[, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et de b.

Par conséquent, \frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2} , l'ordre est inversé donc la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-infini ; 0[ soit sur ]-infini ; -2[ et -2;0[

Logiquement ça devrait être cela

Non, tu as \(\frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2}\) donc \(\frac{-5}{a+2}<\frac{-5}{b+2}\) puis \(3+\frac{-5}{a+2}<3+\frac{-5}{b+2}\) et enfin \(f(a)<f(b)\).
Bonne continuation.

Ah ça y est je pense avoir compris maintenant je vais étudier le sens de variation de f pour le seconde intervalle mais d'abord je conclu pour le premier :

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[, on considère a et b deux réels de cet intervalle tels que a<b.
Dans ce cas, a+2<b+2<0.
Or, on sait que la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[, c'est à dire que pour tout réel a et tout réel b dans ]-oo ; 0[, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et de b.
Par conséquent, \frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2} donc \frac{-5}{a+2}<\frac{-5}{b+2} puis 3+\frac{-5}{a+2}<3+\frac{-5}{b+2} et enfin f(a)<f(b).

a<b et f(a)<f(b) sur l'intervalle ]-infini ; -2[ la fonction conserve l'ordre, c'est donc une fonction croissante sur cet intervalle ! :)
Peut-on "illustrer" par des exemples type f(-3)=3*(-3)+1/-3+2=8 et f(-10)=3,625 ou ce bien c'est du superflux dans ce cas?

non, il est inutile d'illustrer la démonstration...

Bonne continuation.

Bonne continuation à vous aussi, et je tient également à vous remercier pour l'aide que vous m'avez apporté, je vous en suis très reconnaissant :)

Cordialement.

Merci, bonne continuation.