Etude de fonctions de référence
Posté : mer. 9 nov. 2011 19:16
Bonjour, j'ai un dm de maths pour mardi où je bloque, voilà l'exercice :
On définit les fonctions f,g et h sur l'intervalle [0 ; 1 ] par :
f(x) =√(1+x), g(x) = 1+ (x/2) et h(x) = 1 + (x/2) - (x²/8)
1.a. Comparer (f(x))² et (g(x))²
b. En déduire que pour, 0<x≤1, √(1+x) < 1+(x/2)
2.a. Montrer que, pour 0≤x≤1, h(x) est positif.
b. Comparer (f(x))² et (h(x))² sur l'intervalle [0;1].
c. En déduire que, pour 0<x≤1 , 1+(x/2)-(x²/8) < √(1+x)
3. Décrire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f, g et h.
J'ai déjà fais la question 1, j'ai trouvé :
1.a. (f(x))² = √(1+x)² = (√1)² + (√x)² = 1+x (g(x))² = (1+(x/2)² = 1² + 2*1*(x/2)+ (x²/4) = 1 + (2x/2) + (x²/4) = 1+x+(x²/4)
Pour tout x ∈ R x²>0 donc 4>0 tout en sachant qu'une addition est positive : 1+x < 1+x+(x²/4) donc √(1+x)² < (1+(x/2)²
b. D'après la question a on peut conclure que pour tout x ∈ [O;1] donc √(1+x) < (1+(x/2))
A la question 2 a je n'y arrive pas car mon professeur m'a dit de tout mettre au même dénominateur qui est 8 et ensuite calculer delta mais ce dernier est négatif (-16) ce qui me paraît pas cohérent. Pouvez-vous m'expliquer comment résoudre cette question.
Merci d'avance.
On définit les fonctions f,g et h sur l'intervalle [0 ; 1 ] par :
f(x) =√(1+x), g(x) = 1+ (x/2) et h(x) = 1 + (x/2) - (x²/8)
1.a. Comparer (f(x))² et (g(x))²
b. En déduire que pour, 0<x≤1, √(1+x) < 1+(x/2)
2.a. Montrer que, pour 0≤x≤1, h(x) est positif.
b. Comparer (f(x))² et (h(x))² sur l'intervalle [0;1].
c. En déduire que, pour 0<x≤1 , 1+(x/2)-(x²/8) < √(1+x)
3. Décrire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f, g et h.
J'ai déjà fais la question 1, j'ai trouvé :
1.a. (f(x))² = √(1+x)² = (√1)² + (√x)² = 1+x (g(x))² = (1+(x/2)² = 1² + 2*1*(x/2)+ (x²/4) = 1 + (2x/2) + (x²/4) = 1+x+(x²/4)
Pour tout x ∈ R x²>0 donc 4>0 tout en sachant qu'une addition est positive : 1+x < 1+x+(x²/4) donc √(1+x)² < (1+(x/2)²
b. D'après la question a on peut conclure que pour tout x ∈ [O;1] donc √(1+x) < (1+(x/2))
A la question 2 a je n'y arrive pas car mon professeur m'a dit de tout mettre au même dénominateur qui est 8 et ensuite calculer delta mais ce dernier est négatif (-16) ce qui me paraît pas cohérent. Pouvez-vous m'expliquer comment résoudre cette question.
Merci d'avance.