SOS-MATH

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice,j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
1)Démontrer que si u est dérivable sur un intervalle I, alors pour tout n \(\in\) IN, \(u^{n}\) est dérivable sur I de dérivé nu'\(u^{n-1}\).
2)Démontrer que pour tout n \(\in\) IN, \(3^{n}\)\(\geq\)\((n+1)^{2}\).
3)Conjecturer l'expression explicite de (\(u_{n}\)), n \(\in\) IN définie par \(u_{0}\)=3 et \(u_{n+1}\)=\(\sqrt{1+u_{n}^{2}}\), puis prouver la conjecture.
Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, je lui remercie d'avance!

Bonsoir Bastien,

Tu dois vérifier que la propriété est vraie pour le rang 0 ou le rang 1 cela dépend du début puis démontrer que la propriété est vraie au rang \(n+1\) si elle est supposée vraie au rang n, cela s'appelle l'hérédité.
1) \(u^1=u\) elle est dérivable. pour l'hérédité pense que \(u^{n+1}=u^n\times{u}\) et applique ce que tu sais sur un produit de fonction.

2) \(3^0=1^2=1\) au rang 0 la propriété est vraie, pour l'hérédité multiplie \(3^{n}\geq(n+1)^{2}\) par 3 puis compare \(3(n+1)^2\) et \((n+1+1)^2\) et conclus.

3) Pense que \(u_0=\sqrt{9}\), calcule \(u_1\) puis \(u_2\) et conclus.


Bon courage

Bonjour,
Je ne comprends pas ce que vous avez fait!

Bonsoir,

Ce sont des exercices sur la récurrence.
Ton professeur a fait le cours , je suppose et il a également exposé des exemples pour expliquer. Donc tu dois t'en inspirer.

Je vais reprendre la 2eme question., en détail:

Montrer que pour tout entier n, \(3^n>=(n+1)^2\)
Initialisation : on vérifie si c'est vraie pour n=0. c'est vraie car 1>=1

hérédité : supposons que la formule est vraie pour une valeur n . Donc \(3^n>(n+1)^2\).

On vérifie que la formule est vraie pour n+1.

On va donc devoir comparer le nombre \(3^{n+1}\) avec le nombre \((n+2)^2\)
On fait donc la différence : \(3^{n+1}-(n+2)^2=3.3^n-n^2-4n-4\)

Or : \(3^n>(n+1)^2\) donc l'expression précédente est donc plus petite que : \((n+1)^2.3-n^2-4n-4=2n^2+2n-1\)

On calcule delta =9 et on s'apperçoit que pour n>=1, l'expression est positive .
Donc la différence est positive .
Donc \(3^{n+1}>=(n+2)^2\)

On a donc montré que la formule est héréditaire à partir de n=1.

LE PROBLEME : C'est que la formule est fausse pour n=1 . En effet 3^1=3 et (1+1)²=4 et 3<4. ( donc il y a une erreur dans l'énoncé)
Par contre la formule est vraie pour n=2.

Donc finalement on peut dire que cette formule est vraie pour n=0 puis pour n>=2.

Non courage

sosmaths

Bonjour,

SoS-Math(4) a écrit :Or : 3^n>(n+1)^2 donc l'expression précédente est donc plus petite que : (n+1)^2.3-n^2-4n-4=2n^2+2n-1

Je ne comprends pas!

Bonsoir,
On reprend : pour prouver au rang n+1, sachant que le rang n est vrai, on évalue la différence : \(3^{n+1}-(n+2)^2\)
On écrit ensuite \(3^{n+1}-(n+2)^2=3\times3^n-(n+2)^2\), or l'hypothèse de récurrence dit que \(3^n>(n+1)^2\) donc on a \(3^{n+1}-(n+2)^2>3\times(n+1)^2-(n+2)^2\)
Tu développes ce dernier trinôme en n et tu étudies son signe et tu dois en déduire que c'est positif sur les entiers supérieurs à 1

Bonjour,
Il y a une erreur!
2)On doit démontrer que pour tout n \(\in\) IN, \(3^{n}\geq(n)^{2}\)
Mais pour les deux autres, je ne vois pas comment faire!

Bonjour,

1) \(u^1=u\) elle est dérivable. Sa dérivée est \(u^{,}\) que l'on peut encore écrire \(1u^{,}~u^{0}\).
pour l'hérédité pense que \(u^{n+1}=u^n\times{u}\) et utilises la formule permettant de calculer la dérivée d'un produit de fonction.

3) Calcule trois ou quatre termes... Tu sais que \(u_0=3=\sqrt{9}\)... Cette remarque devrait t'aider à conjecturer l'expression à démontrer.

Bonne continuation.

Mais on voit que\(u_0=3=\sqrt{9}\) ; \(u_1=\sqrt{10}\) ; \(u_2=\sqrt{11}\) ; \(u_3=\sqrt{12}\) mais après ça je ne sais pas!

Bonjour,

Tu peux, peut-être, réfléchir et trouver un "lien" entre le rang et l'expression...
\(u_0=3=\sqrt{9+0}\) ; \(u_1=\sqrt{10}=\sqrt{...+1}\) ; \(u_2=\sqrt{11}=\sqrt{...+2}\) etc...

Bonne recherche.

On peut donc dire en généralisant que \(u_n=\sqrt{u_0+n}\) ! Ainsi on conjecture l'expression explicite qui est \(u_n=\sqrt{u_0+n}\). Puis on montre par récurrence que \(u_n=\sqrt{u_0+n}\)!
Est-ce bien cela?

Bonsoir,

Oui Baptiste, c'est bien ce qu'il te reste à démontrer.

Bonne continuation.

Bonjour,
je n'arrive pas à démontrer que\(u_n=\sqrt{u_0+n}\) et \(3^{n}\geq(n)^{2}\)

Bonsoir Baptiste,

Tu dois démontrer que \(u_n=\sqrt{9+n}\), pour cela :
Initialisation : on vérifie que l'égalité est vraie pour n=0.
hérédité : on supposons que l'égalité est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang (n+1).

Tu sais que \(u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}^{2}}\). Cela devrait être relativement simple !

Pour l'autre inégalité à démontrer, il faut rechercher le signe de la différence : \(3^{n+1}-(n+2)^2\)
Ecris \(3^{n+1}-(n+2)^2=3\times3^n-(n+2)^2\)
or l'hypothèse de récurrence dit que \(3^n>(n+1)^2\) donc \(3^{n+1}-(n+2)^2>3\times(n+1)^2-(n+2)^2\)
Tu développes le trinôme en n et tu étudies son signe. Tu devrais réussir à démontrer qu'il est positif pour les entiers supérieurs à 1.

Bon courage.