SOS-MATH

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation (E1): x3(au cube)-9x²+6x+56=0 par une méthode guidée.
1. A l'aide du changement de variable x=X+h, où h est un réel que l'on déterminera, montrer que la résolutions de (E1) équivaut à un système (S): x=X+h
X3(au cube)-21X+20=0
2.Résoudre dans R l'équation (E2): X3+21X+20=0.
Aide: On pourra remarquer que le réel 1 est une racine évidente.

3.En déduire les solutions de l'équation (E1).

Un peu d'aide ne me ferait pas de mal s'il vous plait!
Merci.

Bonjour Maely,

Si tu pose \(X=x+h\) alors \(x=X-h\) remplace alors \(x\) par son expression en fonction de \(X\) et de \(h\) dans l'équation de départ \(x^3-9x^2+6x+56=0\). Utilise \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2+b^3\) pour développer.
Tu vas te retrouver avec une équation qui commence ainsi : \(X^3+(-3h-9)X^2+ ... X + ...=0\). Cette équation doit être équivalente à \(X^3-21X+20=0\), tu peux en déduire que le coefficient de \(X^2\) est nul donc \({-3h-9=0}\) déduis-en \(h\) puis vérifie que tu as bien l'équation voulue.

Si 1 est une racine alors tu peux mettre \((X-1)\) en facteur tu auras donc \(X^3-21X+20=(X-1)(aX^2+bX+c)\). Développe et identifie les coefficients pour trouver \(a\), \(b\) et \(c\).
Ensuite résout l'équation du second degré \(aX^2+bX+c=0\) et conclus.

Bonne continuation