SOS-MATH

Bonjour, voila j'ai quelques difficultés a réaliser un exercice, j'ai vraiment du mal sur un exo si quelqu’un pourrait m'aider ce serait vraiment sympa.
Voici le sujet
Soit f la fonction définie par f(x)= \(\sqrt{x^{2}+1}-x\)
1)Pour tout a \(\in\)IR , déterminer l’équation réduite de la tangente Ta à la courbe Cf en son point d’abscisse a.
2)Déterminer l’intersection J de C avec l’axe des ordonnées, ainsi que la position relative de la tangente To à C en J et de C.
3)Pour tout a>0, exprimer en fonction de a les coordonnées du point Ja d’intersection de Ta et de T-a
4)Montrer que l’ensemble de points Ja pour a>0 est le segment ]OJ[

Voila ce que j'ai fait:
1) L’équation réduite de la tangente Ta à la courbe Cf en son point d’abscisse a est y=f'(a)(x-a)+f(a)
Je n'ai pas compris les autres questions!

Pouvez vous m'aidez s'il vous plait
Merci d'avance

Bonsoir Julie,
il faut aller plus loin dans votre équation
Calculez f '(x) puis en déduire f '(a) puis remplacez dans l'équation f '(a) et f(a) par leur expression en fonction de a
Dans le 2) il faut calculer f(0) puis trouvez l'équation de la tangente en ce point
A vous de continuer

Bonjour,
1)f'(x)\(=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\)-1=\(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)-1=\(\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}\)=\(\frac{-(\sqrt{x^{2}+1}-x)}{\sqrt{x^{2}+1}}\)= \(\frac{-f(x)}{\sqrt{x^{2}+1} }\)
f'(x)\(= \frac{-(\sqrt{x^{2}+1}-x)}{\sqrt{x^{2}+1}}\) donc f'(a)\(=\frac{-(\sqrt{a^{2}+1}-a)}{\sqrt{a^{2}+1}}\) et \(f(a)=\sqrt{a^{2}+1}-a\), par conséquent
y=f'(a)(x-a)+f(a)= \(\frac{-(\sqrt{a^{2}+1}-a)}{\sqrt{a^{2}+1}}(x-a)+\sqrt{a^{2}+1}-a\)=\(\frac{x(a-\sqrt{a^{2}+1})+1}{\sqrt{a^{2}+1}}\)
2)f(0)=1 et \(T_{0}\): y=f'(0)(x-0)+f(0)=-x+1
f(x)-\(T_{0}\)=\(\sqrt{x^{2}+1}-1\) on a f(x)-\(T_{0}\)>0 donc C est au dessus de \(T_{0}\)
Est-ce bon ? Mais pour la suite, je ne comprends pas!

Bonjour Julie,

Ce que tu as fait semble juste.

Question 3 : Il faut rechercher les coordonnées du points d'intersection des tangantes \(T_a\) et \(T_{-a}\).
Donc il faut résoudre (en fonction de a) le système composée des deux équations des tangentes.

SoSMath.

J'ai trouvé les coordonnées du point Ja qui est Ja(0, \(\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}\))
Comment faire pour la dernière question, qui me bloque!