SOS-MATH

Bonjour , voila j'ai quelques difficultés a réaliser un exercice
Voici le sujet
Soit f fonction définie par f(x)= √(x²+1)-x
1) Ensemble de définition et relation fonctionnelle
a)Montrer que f est définie sur l'ensemble des réels
b)Montrer que pour tout x réel, f(x)f(-x)=1
2)Comportement asymptotique
a)Calculer la limite de f(x)en - ∞.
b)Calculer la limite de f(x)en +∞ . En déduire l'existence d'une asymptote T+∞ à C en + ∞.
c)Montrer que T-∞ d'équation y= -2x est asymptote oblique à C en -∞ .
3)Variations
a) Montrer que f(x)>0 pour tout x 0. En déduire f(x)>0 pour tout x .
b)Montrer que pour tout réel x , f'(x)= -f(x)/ √(1+x²). En déduire le tableau de variations de f

Voila ce que j'ai fait:
1)a)J'ai compris!
b)f(x)f(-x)= √( (x²+1)-x)x( √((-x)²+1)+x)=( √(x²+1)-x)x(√ (x²+1)+x)= √(x²+1)²-x²=x²+1-x²=1
2)a)En -∞ lim √(x²+1)= +∞ par composition de limites
En - lim -x=+∞
Donc par somme de limites, en -∞ lim f(x)=+∞ .
b) √(x²+1)-x=lim( √(x²+1)-x)( √(x²+1)+x)/( √(x²+1)+x) = 1/( √(x²+1)+x)
Comme en +∞ ,lim( √(x²+1)+x)=+∞ donc par inverse lim 1/( √(x²+1)+x)= 0
Est-ce bon? Pour les autres questions, je ne sais pas comment faire?
Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
Merci d'avance

Bonsoir Manon,

Ce que tu as fait me semble juste, je n'ai pas tout vérifié avec précision mais globalement les méthodes utilisées sont les bonnes.

Pour \(x\) positif \(\sqrt{x^2+1}\geq{\sqrt{x^2}\) déduis-en que \({f(x)}\geq{0}\), pour x négatif il n'y a pas de problème puisque \(-x\) et \(\sqrt{x^2+1}\) sont positifs

Pour la dernière tu as : \((\sqrt{x^2+1})^,=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) car \((\sqrt{u})^,=\frac{u^,}{2\sqrt{u}}\).

Bonne continuation

Bonjour,
Et la deuxième partie de 3)a), je ne comprends pas f(x)>0 pour tout réel x
Pour la dérivé, je ne comprends pas, quand je le fais je ne trouve pas ça!

Bonjour Manon,

En principe, on t'a donné les explications .... mais je vais préciser un peu ....
* Pour x < 0, -x > 0 et \(\sqr{x^2+1}>0\), donc f(x) > 0.
* Pour x > 0, Démontre que \(\sqr{x^2+1}>\sqr{x^2}\), et comme x > 0, on \(\sqr{x^2}=x\), alors tu pourra conclure sur le signe de f(x).

Pour la dérivée, peux-tu me donner ton résultat ?

SoSMath.

f'(x)=\(\frac{2x}{2sqrt{x^{2}+1}}\)-1=\(\frac{x}{sqrt{x^{2}+1}}\)-1=\(\frac{x-sqrt{x^{2}+1})}{sqrt{x^{2}+1}}\)=\(\frac{-(sqrt{x^{2}+1}-x)}{sqrt{x^{2}+1}}\)= \(\frac{-f(x)}{sqrt{x^{2}+1} }\)

Bonsoir Manon,
votre calcul est correct
Bon courage pour la suite